咨询向量表达式$\rho \mathbf{uu}$的乘法类型及作业证明疑问

嘿，我太懂你这种困惑了——刚从基础向量运算跳到工程/物理领域的进阶写法时，这种看起来“不按常理出牌”的乘法确实会让人摸不着头脑！

先直接给你答案：这个表达式里的\mathbf{uu}是向量的张量积（也叫并矢积、外积），既不是点积也不是叉积，教授说的没错，也确实没有排版错误。下面给你拆解开讲：

• 首先明确：\mathbf{u}是三维速度向量，假设它的分量是\mathbf{u} = (u_1, u_2, u_3)（对应x、y、z方向的速度）。
• 这里的\mathbf{uu}是把两个速度向量“并排”做张量乘法，结果是一个二阶张量，用矩阵形式写出来就是：

  \mathbf{uu} = \begin{bmatrix}
  u_1u_1 & u_1u_2 & u_1u_3 \\
  u_2u_1 & u_2u_2 & u_2u_3 \\
  u_3u_1 & u_3u_2 & u_3u_3
  \end{bmatrix}
  

• 而ρ是流体的密度（标量），所以ρ \mathbf{uu}就是把这个张量的每个元素都乘以ρ，本质还是一个二阶张量。

为什么会用这种写法？ #

这个表达式大概率出现在流体力学的动量方程里，它代表的是动量通量张量：

简单来说，单位时间内通过单位面积的流体动量是ρ\mathbf{u}，而这个动量会随着流体的流动（速度\mathbf{u}）传递，所以两者结合就形成了描述动量传递的张量ρ\mathbf{uu}——它是二阶张量，因为动量是矢量，通量也是矢量，矢量和矢量的张量积就是二阶张量。

和你学过的两种向量乘法的区别 #

• 点积（\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}）结果是标量，比如u_1² + u_2² + u_3²；
• 叉积（\mathbf{u} \times \mathbf{u}）结果是矢量，而且因为是同向量叉乘，结果是零向量；
• 但张量积\mathbf{uu}的结果是3×3的矩阵（二阶张量），完全是另一种维度的运算，所以教授说不是点积/叉积完全正确。

如果是二维情况（比如平面流动），\mathbf{u} = (u, v)，那\mathbf{uu}就是：

\begin{bmatrix}
u² & uv \\
vu & v²
\end{bmatrix}

这样是不是更直观了？

内容的提问来源于stack exchange，提问作者dat boy