含随机变量的余弦项级数N→∞时的形态特性咨询

嗨，完全不用纠结表述的问题哈，这个随机场的收敛性是随机过程里挺经典的场景，我尽量用直白的话给你拆解清楚：

1. 单个固定点$\vec{x}$的行为：趋向正态分布 #

对于任意选好的$\vec{x}$，当$N$趋向无穷时，$f_N(\vec{x})$会依分布收敛到均值为0、方差为$\frac{1}{2}$的正态随机变量：

• 核心原因是中心极限定理：每一项$\cos(2\pi \vec{k}_n\cdot \vec{x} + \varphi_n)$都是独立同分布的随机变量。因为$\varphi_n$在$[0,2\pi]$均匀分布，不管$2\pi \vec{k}_n\cdot \vec{x}$是什么固定值，$\cos(\theta + \varphi_n)$的期望都是0（对$\varphi$积分一圈，余弦的正负部分完全抵消），方差是$\frac{1}{2}$（平方后的余弦积分平均结果为$\frac{1}{2}$）。
• 哪怕$\vec{k}_n$在球面均匀分布，对单个$\vec{x}$来说，也不会改变每个余弦项的期望和方差——毕竟$\varphi_n$的均匀性已经把相位的随机性拉满了。
• 用$\frac{1}{\sqrt{N}}$归一化后，根据中心极限定理，这些项的和就会趋向正态分布，均值为0，方差为$\frac{1}{2}$。

2. 整个空间的全局行为：变成平稳高斯随机场 #

当$N$足够大时，整个$f_N(\vec{x})$会演化成一个平稳的高斯随机场：

• 这个场的统计性质是确定的：任意两个点$\vec{x}_1$和$\vec{x}_2$的协方差（衡量它们取值的相关性）可以计算得出：
  先展开乘积项$\cos(A)\cos(B)$，对$\varphi_n$积分后得到$\frac{1}{2}\mathbb{E}[\cos(2\pi \vec{k}_n\cdot (\vec{x}_1 - \vec{x}_2))]$，再对$\vec{k}_n$在2维球面均匀积分，结果是$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin(2\pi |\vec{x}_1 - \vec{x}_2|)}{2\pi |\vec{x}_1 - \vec{x}_2|}$（也就是缩放后的sinc函数）。
• 直白点说，这个场看起来就是处处随机的噪声，但相邻点的取值会有微弱关联——距离越近，相关性越强；距离越远，相关性越弱，最终趋近于0。

3. 关键提醒：为什么不会收敛到确定函数？ #

如果我们用$\frac{1}{N}$归一化，那根据大数定律，$f_N(\vec{x})$会几乎肯定收敛到0。但这里用的是$\frac{1}{\sqrt{N}}$，刚好让波动的幅度稳定下来，不会消失——所以整个场始终是随机的，但统计规律是固定的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Banana