求圆柱半径时间变化率，求证油盘半径变化率与t^(3/4)成反比

问题描述 #

大量原油泄漏至海洋，经短暂湍流后形成半径为$r$、厚度为$h$的圆盘状油膜。圆盘半径随时间增大，厚度随时间减小，已知$h=\frac{c}{\sqrt{t}}$，请证明$\frac{dr}{dt}$与$t^{3/4}$成反比。

完整推导过程 #

核心思路是泄漏的原油体积$V$保持不变，所以体积对时间的导数为0。圆盘状油膜的体积公式是$V = \pi r^2 h$，我们对时间$t$求导：

$$\frac{dV}{dt} = \pi \frac{d}{dt}(r^2 h) = \pi \left( r^2 \frac{dh}{dt} + 2rh \frac{dr}{dt} \right) = 0$$

因为$\pi$不为0，所以括号内的表达式等于0：
$$r^2 \frac{dh}{dt} + 2rh \frac{dr}{dt} = 0$$

首先计算$\frac{dh}{dt}$：已知$h = c t^{-1/2}$，根据幂函数求导法则：
$$\frac{dh}{dt} = c \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) t^{-3/2} = -\frac{c}{2 t^{3/2}}$$

将$\frac{dh}{dt}$代入上面的等式：
$$r^2 \cdot \left(-\frac{c}{2 t^{3/2}}\right) + 2rh \frac{dr}{dt} = 0$$

把含$\frac{dr}{dt}$的项留在左边，其余移到右边：
$$2rh \frac{dr}{dt} = \frac{c r^2}{2 t^{3/2}}$$

两边约去$r$（$r>0$，油膜半径不可能为0）：
$$2h \frac{dr}{dt} = \frac{c r}{2 t^{3/2}}$$

再把$h = \frac{c}{\sqrt{t}}$代入左边：
$$2 \cdot \frac{c}{\sqrt{t}} \cdot \frac{dr}{dt} = \frac{c r}{2 t^{3/2}}$$

约去常数$c$（$c$不为0），整理后解出$\frac{dr}{dt}$：
$$\frac{dr}{dt} = \frac{r}{4 t}$$

现在需要把$r$用$t$表示，利用体积恒定的条件$V = \pi r^2 h = \pi r^2 \cdot \frac{c}{\sqrt{t}}$，整理得：
$$r^2 = \frac{V \sqrt{t}}{\pi c} \implies r = \sqrt{\frac{V}{\pi c}} \cdot t^{1/4}$$

将$r$代入$\frac{dr}{dt}$的表达式：
$$\frac{dr}{dt} = \frac{1}{4 t} \cdot \sqrt{\frac{V}{\pi c}} \cdot t^{1/4} = \frac{1}{4} \sqrt{\frac{V}{\pi c}} \cdot t^{-3/4}$$

这里$\frac{1}{4} \sqrt{\frac{V}{\pi c}}$是一个常数，所以$\frac{dr}{dt}$与$t^{3/4}$成反比（即$\frac{dr}{dt} \propto t^{-3/4}$），证明完成。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者KatherineEnilin