求解复三次方程$-2az^2z^*+2bz^*-i\frac{c}{2}z=0$的非零根

嘿，我来帮你捋捋这个复三次方程非零根的求解思路～

原方程为：
$$ -2az^2z+2bz^-i\frac{c}{2}z=0\qquad a,c\in\mathbb{R} \text{, } b\in\mathbb{I} $$
你已经准确发现$z=0$是一个根，接下来我们聚焦非零根的求解——你用极坐标$z=re^{i\theta}$的方向完全正确，不过可以调整下推导路径，通过实部虚部分离的方式让问题更直观：

步骤1：化简非零根的方程 #

因为$z\neq0$，两边除以$z$后得到你写的式子：
$$ -2ar^2+2be{-i2\theta}-i\frac{c}{2}=0 $$
这里注意$b$是纯虚数，我们可以先设$b=ik$（其中$k\in\mathbb{R}$），把所有项转化为实部+虚部的形式，方便后续拆分。

步骤2：拆分实部与虚部 #

将$b=ik$和$e^{-i2\theta}=\cos2\theta - i\sin2\theta$代入化简：
$$ -2ar^2 + 2ik(\cos2\theta - i\sin2\theta) - i\frac{c}{2} = 0 $$
展开后整理（注意$i\times(-i)=1$）：
$$ -2ar^2 + 2k\sin2\theta + i\left(2k\cos2\theta - \frac{c}{2}\right) = 0 $$
复数等于0的充要条件是实部和虚部分别为0，因此得到两个独立的实方程：

• 实部方程：$ -2ar^2 + 2k\sin2\theta = 0 \implies ar^2 = k\sin2\theta $（记为①）
• 虚部方程：$ 2k\cos2\theta - \frac{c}{2} = 0 \implies \cos2\theta = \frac{c}{4k} $（记为②）

步骤3：求解角度$\theta$ #

从方程②出发，首先需要满足$\left|\frac{c}{4k}\right|\leq1$（否则不存在实数解，即无复非零根）。满足条件时：
$$ 2\theta = \pm\arccos\left(\frac{c}{4k}\right) + 2n\pi \quad n\in\mathbb{Z} $$
对应$\theta = \pm\frac{1}{2}\arccos\left(\frac{c}{4k}\right) + n\pi$（$n$取0或1即可覆盖所有不同的根）

步骤4：求解模长$r$ #

利用三角恒等式$\sin2\theta = \pm\sqrt{1-\cos^22\theta}$，将方程②的结果代入得：
$$ \sin2\theta = \pm\sqrt{1-\left(\frac{c}{4k}\right)^2} $$
再代入方程①，注意$r^2>0$（因为$z\neq0$），所以右边的符号需要和$a$、$k$的符号保持一致：

• 若$a$与$k$同号：取正号，$r^2 = \frac{k}{a}\sqrt{1-\left(\frac{c}{4k}\right)^2}$，$r = \sqrt{\frac{k}{a}\sqrt{1-\left(\frac{c}{4k}\right)^2}}$（$r$为正实数）
• 若$a$与$k$异号：取负号，$r^2 = -\frac{k}{a}\sqrt{1-\left(\frac{c}{4k}\right)^2}$，同样取$r$的正平方根

补充：另一种代数化简思路 #

其实一开始可以整理原方程为：
$$ z^( -2a z^2 + 2b ) = i\frac{c}{2} z $$
两边取模可得$|z^| | -2a z^2 + 2b | = \frac{c}{2}|z|$，约去$|z|$（$z\neq0$）后得到$| -2a z^2 + 2b | = \frac{c}{2}$，可以快速判断是否存在非零根。

至于你之前得到的$r=\pm\Big(\frac{b}{a}e^{{-i2\theta}-i\frac{c}{4a}\Big)}{1/2}$，本质和实部虚部分离的思路一致，只是把右边的复数先写成实部虚部再求平方根，会和上面的结果等价，只是实部虚部分离的方式更不容易出错～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Turbotanten