群中交换元素a、b的共轭等价性及阶数相关证明问询

咱们来一步步拆解这个群论问题的证明过程：

等价性证明：$ab=ba \iff aba^{-1}=b$ #

已知群中元素$a$和$b$满足可交换的前提，先证这个双向等价关系：

• 正向推导：如果$ab=ba$，两边同时右乘$a^{{-1}$，直接得到$aba}{-1}=b$；
• 反向推导：如果$aba^{-1}=b$，两边同时右乘$a$，就能推出$ab=ba$。
  这个等价转换就轻松搞定了。

共轭元的幂次表示 #

*$aba^{{-1}$是$b$的共轭元*，群里共轭元的阶完全相等，所以它的阶也是$q$（和$b$的阶一致）。既然它和$b$同阶，那它必然是$b$的某个幂次——也就是说存在整数$k$，使得$aba}{-1}=b^k$。

归纳法推导一般形式 #

接下来咱用归纳法证明：对所有$m \geq 1$，都有$a^m b a^{-m}=b{k^m}$：

• 基例（$m=1$）：就是刚才得到的$aba^{-1}=bk$，显然成立；
• 归纳假设：假设当$m=n$时结论成立，即$a^n b a^{-n}=b{k^n}$；
• 归纳步骤：当$m=n+1$时，

  a^{n+1}b a^{-(n+1)} = a(a^n b a^{-n})a^{-1} = a b^{k^n} a^{-1} = (aba^{-1})^{k^n} = (b^k)^{k^n} = b^{k^{n+1}}
  

  完美，归纳成立，这个式子对所有正整数$m$都适用。

代入$m=p$后的推导 #

现在取$m=p$（这里默认$a$的阶是素数$p$），代入上面的式子：
左边$a^p b a^{{-p}$，因为$a}p$是群的单位元，所以左边就等于$b$，于是得到$b = b^{kp}$。

根据群元素阶的性质：若$b$的阶为$q$，则$b^x = b^y$当且仅当$x \equiv y \mod q$，所以咱们可以推出$k^p \equiv 1 \mod q$。

模$q$乘法群中的阶分析 #

整数$k$模$q$的结果属于乘法群$(\mathbb{Z}/(q))^{\times$，这个群的阶是$q-1$（这里默认$q$是素数）。根据拉格朗日定理，$k$在这个群中的阶必须整除群的阶$q-1$，同时也整除$p$（因为$k}p \equiv 1 \mod q$）。
因为$p$是素数，所以$k$的阶只能是两种情况：

• 阶为1：此时$k \equiv 1 \mod q$，也就是$aba^{-1}=b$，回到了$ab=ba$的交换情况；
• 阶为$p$：此时$p$必须整除$q-1$，也就是$q \equiv 1 \mod p$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者P.Graham