求使指定变换为线性变换的a值及相关变换与逆变换

嗨，我来一步步解决这个线性变换的问题：

1. 求使得T为线性变换的a值 #

要让满足 ( T(w_1)=v_1, T(w_2)=v_2, T(w_3)=v_3 ) 的变换 ( T ) 是线性变换，核心是保证w向量组的线性相关关系能对应到v向量组的线性相关关系：

• 首先构造由w向量为列的矩阵 ( W )，v向量为列的矩阵 ( V )：

  W = [[1, 2, 1],
       [1, 1, 2],
       [2, 1, a]]
  V = [[1, 1, 2],
       [2, 1, a],
       [1, 2, 1]]
  

• 计算 ( W ) 的行列式：( \det(W) = -a + 5 )
  • 当 ( \det(W) \neq 0 )（即 ( a \neq 5 )）时，( w_1,w_2,w_3 ) 线性无关，构成 ( \mathbb{R}^3 ) 的一组基。此时可以唯一扩展出线性变换 ( T )，满足给定的映射关系，因此 ( T ) 是线性变换。
  • 当 ( \det(W) = 0 )（即 ( a = 5 )）时，( w_1,w_2,w_3 ) 线性相关，且可验证 ( w_3 = 3w_1 - w_2 )。此时对应检查v向量组：( 3v_1 - v_2 = (2,5,1) = v_3 )，刚好满足相同的线性组合关系，因此也存在线性变换 ( T ) 满足条件。

综上，所有实数 ( a ) 都能使得 ( T ) 为线性变换。

2. 当 ( a=1 ) 时，求 ( T(x,y,z) ) 的显式表达式 #

当 ( a=1 ) 时，( w_1=(1,1,2), w_2=(2,1,1), w_3=(1,2,1) ) 线性无关，我们可以将任意向量 ( (x,y,z) ) 表示为 ( w_1,w_2,w_3 ) 的线性组合：
[ (x,y,z) = k_1w_1 + k_2w_2 + k_3w_3 ]

解这个线性方程组，得到系数：
[ k_1 = \frac{3z - x - y}{4}, \quad k_2 = \frac{3x - y - z}{4}, \quad k_3 = \frac{3y - x - z}{4} ]

根据线性变换的性质 ( T(x,y,z) = k_1v_1 + k_2v_2 + k_3v_3 )，代入 ( v_1=(1,2,1), v_2=(1,1,2), v_3=(2,1,1) ) 计算后，可得到简洁的表达式：
[ \boldsymbol{T(x,y,z) = (y, z, x)} ]

验证一下：( T(w_1)=T(1,1,2)=(1,2,1)=v_1 )，( T(w_2)=T(2,1,1)=(1,1,2)=v_2 )，( T(w_3)=T(1,2,1)=(2,1,1)=v_3 )，完全符合要求。

3. 求该线性变换的逆变换 #

已知 ( T(x,y,z)=(y,z,x) )，我们需要找到一个变换 ( T^{-1} )，使得 ( T(T^{-1}(x,y,z))=(x,y,z) ) 且 ( T^{-1}(T(x,y,z))=(x,y,z) )。

观察 ( T ) 的作用是将向量的分量循环右移一位，那么逆变换就是将分量循环左移一位：
[ \boldsymbol{T^{-1}(x,y,z) = (z, x, y)} ]

验证：( T(T^{-1}(x,y,z))=T(z,x,y)=(x,y,z) )，( T^{{-1}(T(x,y,z))=T}{-1}(y,z,x)=(x,y,z) )，满足逆变换的定义。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者gbox