含积分的级数求和问题（二）：积分与级数交换等式咨询

你提到的这个等式核心其实是积分和求和顺序的交换，我来一步步拆解它的逻辑：

首先先明确符号：$\chi_{[c,d]}(t)$是指示函数，简单说就是当$t$落在区间$[c,d]$里时它等于1，否则等于0。

第一步：把单个积分的范围统一到$(0,b)$ #

左边的每一项$\int_{2^{k}a}{2^{{k}b}\frac{f(t)}{t}dt$，其实可以等价写成$\int_{0}}{b}\chi_{[2^{k}a,~2{k}b]}(t)\frac{f(t)}{t}dt$。为什么？
因为当$k$是负整数时，$2^k b < b$（比如$k=-1$时是$b/2$，$k=-2$时是$b/4$，以此类推），而且$2^k a > 0$，所以区间$[2^k a, 2^k b]$完全包含在$(0,b)$里。对于$(0,b)$之外的$t$，指示函数$\chi_{[2^k a,2^k b]}(t)$都是0，所以把积分范围扩展到$(0,b)$，积分值不会变。

第二步：交换求和与积分的顺序 #

现在左边的求和就变成了：
$$\sum_{k=-\infty}^{-1}\int_{0}{b}\chi_{[2^{k}a,~2{k}b]}(t)\frac{f(t)}{t}dt$$
接下来为什么能把求和拿到积分里面去？这里有两个很关键的理由：

1. 有限求和的线性性：对于任意固定的$t\in(0,b)$，当$k$足够小（比如$k < \log_2(t/b)$），$2^k b < t$，此时$\chi_{[2^k a,2^k b]}(t)=0$，不会贡献任何值。也就是说，对每个$t$，这个求和其实是有限项的和——只有有限个$k$能让$t$落在对应的区间里。而积分是线性算子，有限个函数的和的积分，等于每个函数积分的和，这是积分最基本的性质之一。
2. 非负函数的单调收敛定理（列维定理）：退一步说，即使不考虑有限性，因为$\chi_{[2^k a,2^k b]}(t)\frac{f(t)}{t}$都是非负函数（题目里说$f:(0,\infty)\to(0,\infty)$，所以$f(t)/t>0$，指示函数也是非负的），对于非负可测函数列，无穷求和与积分的顺序是可以交换的，这是勒贝格积分里的核心定理之一，保证了这种操作的合法性。

把这两步结合起来，左边的求和积分就变成了右边的积分求和，也就是你看到的等式：
$$ \sum_{k=-\infty}^{-1}\int_{2{k}a}^{2{k}b}\frac{f(t)}{t}dt=\int_{0}^{{b}\left(\sum_{k=-\infty}}{-1}\chi_{[2^{k}a,~2{k}b]}(t)\right) \frac{f(t)}{t}dt $$

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