已知X、Y为独立均匀分布，如何用两种方法求解P(X > Y ∩ X = k)？

嘿，咱们来搞定这个离散均匀分布的概率问题：

问题背景 #

有两个相互独立的离散随机变量：

• X 的取值是 {1, 2, 3, ..., n}，服从均匀分布
• Y 的取值也是 {1, 2, 3, ..., n}，同样服从均匀分布，且和 X 完全独立

我们要算的是概率 P(X > Y 且 X = k) 的值，这里有两种不同的求解思路：

方法1：条件概率乘法直接拆解

用条件概率的乘法公式，把联合概率拆成边缘概率乘以条件概率：
$$
P(X > Y \cap X = k) = P(X = k)P(X>Y|X=k) = \frac{1}{n} \cdot \frac{k-1}{n}
$$
说人话就是：

• X是均匀分布，所以取到k的概率是 $\frac{1}{n}$
• 当X确定等于k时，Y得小于k才行，Y有1到k-1这k-1个可选值，所以这个条件下的概率是 $\frac{k-1}{n}$
• 把这两个概率乘起来就是结果啦

方法2：从X>Y的事件反向推导

换个思路，先看X>Y这个事件的概率，再结合条件概率计算：
$$
P(X > Y \cap X = k) = P(X>Y)P(X=k|X>Y) = \frac{n-y}{n} \cdot \frac{1}{n-y}
$$
（注：这里的符号可能存在笔误，正常情况下应该用k替换公式里的y，逻辑上才通顺哦）

内容的提问来源于stack exchange，提问作者A_for_ Abacus