求证：有限个不同底数几何序列的和存在极限当且仅当各底数模小于1

咱们来一步步推导这个结论：对于形如 $x_n = c_1 b_1^n + c_2 b_2^n + \dots + c_r b_r^n$ 的序列（其中 $r$ 是固定正整数，每个 $c_k$ 是非零固定复数，所有 $b_k$ 互不相同且均不为1），它存在极限的充要条件是所有 $b_k$ 的模都小于1。

充分性：若 $|b_1|, |b_2|, \dots, |b_r| < 1$，则 ${x_n}$ 存在极限 #

我们先回忆单个几何序列的性质：对于任意非零复数 $c$ 和模小于1的复数 $b$，$\lim_{n \to \infty} c b^n = 0$——这是因为复数的模趋于0时，复数本身必然趋向于原点（复平面的零元）。

而有限个收敛序列的和仍然是收敛的，且极限等于各序列极限的和。这里每个 $c_k b_k^n$ 都趋向于0，所以：
$$\lim_{n \to \infty} x_n = \sum_{k=1}^r \lim_{n \to \infty} c_k b_k^n = 0 + 0 + \dots + 0 = 0$$
显然存在极限，充分性得证。

必要性：若 ${x_n}$ 存在极限，则 $|b_1|, |b_2|, \dots, |b_r| < 1$ #

我们用反证法来证明：假设存在某个 $b_m$ 满足 $|b_m| \geq 1$，我们要推出矛盾。

分两种子情况讨论：

• 子情况1：$|b_m| > 1$
  此时 $|c_m b_m^n| = |c_m| \cdot |b_m|^n$，因为 $|b_m| >1$，当 $n \to \infty$ 时，$|b_m|^n$ 会趋向正无穷，因此 $|c_m b_m^n|$ 也趋向正无穷。
  对于其他项，要么 $|b_k| <1$（此时 $c_k b_k^n$ 趋向0），要么 $|b_k| \geq1$（但即使如此，它们的模最多趋向无穷或保持有界）。不管哪种情况，整个序列 $x_n$ 的模都会趋向无穷，不可能存在有限极限，与假设矛盾。

• 子情况2：$|b_m| = 1$ 且 $b_m \neq 1$
  此时 $b_m$ 可以表示为 $e^{i\theta}$，其中 $\theta \in (0, 2\pi)$（因为 $b_m \neq1$，所以 $\theta$ 不是 $2\pi$ 的整数倍）。那么 $b_m^n = e^{in\theta}$，这个序列是周期振荡的，不会收敛——它的模始终是1，但辐角随n线性变化，永远不会稳定到某个固定复数。

  现在考虑序列：
  $$x_n - \sum_{|b_k| <1} c_k b_k^n = \sum_{|b_k|=1} c_k b_k^n$$
  左边中，${x_n}$ 收敛，$\sum_{|b_k| <1} c_k b_k^n$ 趋向0，因此左边的极限存在且等于 ${x_n}$ 的极限。这意味着右边的和也必须收敛。

  但右边是有限个互不相同的振荡序列的和：每个 $c_k b_k^n$ 都不收敛，且由于 $b_k$ 互不相同，它们的振荡频率（对应辐角的增量）也不同。假设这个和收敛到某个复数 $L$，那么取相邻两项的差：
  $$\sum_{|b_k|=1} c_k b_k^n (b_k - 1) = x_{n+1} - x_n - \sum_{|b_k| <1} c_k b_k^n (b_k -1)$$
  右边的极限是0（因为 ${x_n}$ 收敛，相邻差趋向0；后面的和趋向0），但左边中每个 $b_k -1 \neq0$，且 $|c_k b_k^n (b_k -1)| = |c_k| \cdot |b_k -1| >0$（固定正数），这些项的和的模不可能趋向0，矛盾。

综上，假设不成立，所有 $b_k$ 的模必须小于1，必要性得证。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user357151