域扩张中中间域的性质求证与LM子域定义确认

嘿，你说的没错，LM确实是由$L \cup M$生成的$F$的子域～我来把这四个关于域扩张合成的结论拆解清楚，帮你理顺逻辑：

(a) $[LM : K]$有限当且仅当$[L : K]$和$[M : K]$均有限 #

• 必要性：如果$[LM:K]$有限，那么$L$、$M$都是$LM$的子域，根据域扩张次数的单调性，$[L:K] \leq [LM:K]$且$[M:K] \leq [LM:K]$，因此$[L:K]$和$[M:K]$必然都是有限的。
• 充分性：假设$[L:K]=m$，$[M:K]=n$均有限，取$L$在$K$上的一组基${a_1,a_2,...,a_m}$，$M$在$K$上的一组基${b_1,b_2,...,b_n}$，那么所有形如$a_i b_j$的元素构成的集合可以生成$LM$作为$K$-向量空间，此时$LM$的$K$-维数不超过$m \times n$，显然$[LM:K]$有限。

(b) 若$[LM : K]$有限，则$[L : K]$和$[M : K]$均整除$[LM : K]$，且$[LM : K] \le [L : K][M : K]$ #

• 整除性：因为$L \subset LM$，$M \subset LM$，根据域扩张次数的传递性，$[LM:K] = [LM:L] \cdot [L:K] = [LM:M] \cdot [M:K]$，所以$[L:K]$和$[M:K]$都是$[LM:K]$的因子。
• 不等式：结合(a)中充分性的推导，$LM$的$K$-基最多由$m \times n$个元素组成（可能存在线性相关的情况），因此$[LM:K] \leq [L:K][M:K]$。

(c) 若$[L : K]$和$[M : K]$有限且互素，则$[LM : K] = [L : K][M : K]$ #

设$[L:K]=m$，$[M:K]=n$，且$\gcd(m,n)=1$。由(b)可知$m$和$n$都整除$[LM:K]$，而互素的两个数的乘积是它们的最小公倍数，因此$m \times n$整除$[LM:K]$；同时又有$[LM:K] \leq m \times n$，两边夹逼可得$[LM:K] = m \times n = [L:K][M:K]$。

(d) 若$L$和$M$均在$K$上代数，则$LM$也在$K$上代数 #

任取$x \in LM$，$x$可以表示为$L$和$M$中元素的有理式（因为$LM$是由$L \cup M$生成的子域），不妨设$x = \frac{f(c_1,...,c_s,d_1,...,d_t)}{g(c_1,...,c_s,d_1,...,d_t)}$，其中$c_i \in L$，$d_j \in M$，$f,g$是$K$上的多项式。考虑中间域$K(c_1,...,c_s,d_1,...,d_t)$，它是$K$的有限代数扩张（有限次添加代数元得到的扩张必有限且代数），而$x$属于这个有限扩张，因此$x$在$K$上代数。由$x$的任意性可知，$LM$中所有元素都是$K$-代数元，即$LM/K$是代数扩张。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Tim