满足$a_{nk} \leqslant n a_k$的序列$a_n/n$是否收敛？——Fekete引理拓展问询

这个条件比Fekete次可加引理中的次可加性（$a_{n+k} \leqslant a_n + a_k$）要弱——虽然次可加序列必然满足你给出的倍数条件（通过归纳法就能推导：$a_{nk} \leqslant a_{(n-1)k} + a_k \leqslant (n-1)a_k + a_k = n a_k$），但反过来不成立：存在满足$a_{nk} \leqslant n a_k$对所有$k \geqslant 0, n>0$的序列，使得$\frac{a_n}{n}$不收敛。

一个具体的反例 #

我们构造这样的序列：对于任意正整数$n$，令$a_n$等于$n$中包含的最大2的幂因子，也就是$a_n = 2^{v_2(n)}$，其中$v_2(n)$表示$n$的质因数分解里2的指数（比如$v_2(8)=3$，$v_2(6)=1$，$v_2(5)=0$）。

首先验证它满足条件：

• 对于任意$k \geqslant 0, n>0$，$v_2(nk) = v_2(n) + v_2(k)$，因此$a_{nk} = 2^{v_2(n)+v_2(k)}$；
• 而$n \geqslant 2^{{v_2(n)}$（因为$n$至少包含$2}{v_2(n)}$这个因子），所以$n a_k = n \cdot 2^{v_2(k)} \geqslant 2^{v_2(n)} \cdot 2^{v_2(k)} = a_{nk}$，完全满足$a_{nk} \leqslant n a_k$。

接下来看$\frac{a_n}{n}$的行为：

• 当$n$是2的幂时（比如$n=2^m$），$\frac{a_n}{n} = \frac{2^m}{2m} = 1$；
• 当$n$是奇数时（$v_2(n)=0$），$\frac{a_n}{n} = \frac{1}{n}$，当$n$趋向无穷时趋近于0；
• 当$n$是$2^{m$乘以一个大于1的奇数时（比如$n=2}m \cdot (2t+1), t \geqslant 1$），$\frac{a_n}{n} = \frac{2^m}{2m \cdot (2t+1)} = \frac{1}{2t+1} \leqslant \frac{1}{3}$。

显然，这个序列$\frac{a_n}{n}$的上极限是1，下极限是0，不存在收敛的极限。这说明仅满足倍数形式的次可加条件，不足以保证$\frac{a_n}{n}$收敛——Fekete引理的次可加性是更强的约束，才是收敛的关键。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者J.-E. Pin