证明：若连续函数f在[a,b]上存在分划P使S(P)=∫ₐᵇf，则f为常函数

哈哈，你已经摸到关键突破口啦！我们顺着你这个假设往下推，很快就能导出矛盾：

首先明确已知条件：

• ( f ) 在闭区间 ([a,b]) 上连续
• 存在分划 ( P = {x_0=a, x_1, x_2, ..., x_n=b} )，使得达布上和 ( S(P) = \sum_{i=1}^n M_i \Delta x_i = \int_a^b f(x)dx )，其中 ( M_i = \sup{f(x) | x \in [x_{i-1}, x_i]} )，( \Delta x_i = x_i - x_{i-1} )

第一步：拆解积分与达布上和的关系 #

我们可以把定积分拆成各子区间上的积分之和：
[
\int_a^b f(x)dx = \sum_{i=1}^n \int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x)dx
]
结合已知的 ( S(P) = \int_a^b f(x)dx )，就能得到对每个子区间 ( [x_{i-1}, x_i] )，都有：
[
\int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x)dx = M_i \Delta x_i
]

第二步：利用连续非负函数的积分性质推导恒等性 #

对每个子区间 ( [x_{i-1}, x_i] )，因为 ( M_i ) 是 ( f ) 在该区间的上确界，所以对所有 ( x \in [x_{i-1}, x_i] )，都有 ( f(x) \leq M_i )，也就是 ( M_i - f(x) \geq 0 )。

计算这个非负连续函数的积分：
[
\int_{x_{i-1}}^{x_i} (M_i - f(x))dx = M_i \Delta x_i - \int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x)dx = 0
]
根据连续非负函数积分等于0的充要条件：若连续函数 ( g(x) \geq 0 ) 在区间上的积分等于0，则 ( g(x) \equiv 0 ) 在该区间上。

由此可得 ( M_i - f(x) \equiv 0 )，也就是 ( f(x) = M_i ) 对所有 ( x \in [x_{i-1}, x_i] ) 成立——这说明 ( f ) 在每个子区间上都是常数！

第三步：结合连续性导出所有子区间的常数相等 #

现在假设 ( f ) 不是常函数，那必然存在两个相邻的子区间 ( [x_{i-1}, x_i] ) 和 ( [x_i, x_{i+1}] )，使得 ( M_i \neq M_{i+1} )。但 ( f ) 在点 ( x_i ) 处连续，所以：
[
\lim_{x \to x_i^-} f(x) = f(x_i) = M_i
]
[
\lim_{x \to x_i^+} f(x) = f(x_i) = M_{i+1}
]
这就推出 ( M_i = M_{i+1} )，和假设的 ( M_i \neq M_{i+1} ) 矛盾！

同理，所有子区间的 ( M_i ) 都必须相等，设这个常数为 ( C )，那么 ( f ) 在整个 ([a,b]) 上都等于 ( C )，也就是常函数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Theorem