利用已知积分求解目标积分：连续可导函数积分计算问题

Hey，我来一步步拆解这个问题，帮你算出最终的积分结果～

首先，我们有一个连续可导的函数 ( f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} )，已知两个积分条件，我们可以通过换元积分法（本质就是利用导数的逆运算）把积分转化为函数在区间端点的函数值差，先看第一个条件：

第一个积分条件推导 #

已知：
$$\int_0^1{f(x)\cdot f'(x), dx}=0$$
令 ( u = f(x) )，那么 ( du = f'(x)dx )，积分上下限就变成从 ( f(0) ) 到 ( f(1) )，积分转化为 ( \int_{f(0)}^{f(1)} u du )，计算后得到：
$$\frac{1}{2}[(f(x))^2]_01=0$$
展开定积分的端点值，可得：
$$(f(1))^2-(f(0))2=0$$
这个式子告诉我们 ( f(1)^2 = f(0)^2 )，也就是 ( f(1) = f(0) ) 或者 ( f(1) = -f(0) )，先记下来这个结论。

第二个积分条件推导 #

再看第二个已知积分：
$$\int_0^1{(f(x))2\cdot f'(x), dx}=18$$
同样用换元法，令 ( u = f(x) )，积分转化为 ( \int_{f(0)}^{f(1)} u^2 du )，计算后得到：
$$\frac{1}{3}[(f(x))^3]_01=18$$
两边乘以3，就能得到：
$$(f(1))^3-(f(0))3=54$$

求解 ( f(1) ) 和 ( f(0) ) 的具体值 #

现在我们把 ( a = f(1) )，( b = f(0) ) 代入上面两个结论，得到方程组：

• ( a^2 = b^2 )
• ( a^3 - b^3 = 54 )

先看第一种情况：如果 ( a = b )，代入第二个方程会得到 ( a^3 - a^3 = 0 = 54 )，这显然不成立，所以只能是 ( a = -b )。

把 ( a = -b ) 代入第二个方程：
$$(-b)^3 - b^3 = -b^3 - b^3 = -2b^3 = 54$$
解这个方程：( b^3 = -27 )，所以 ( b = -3 )，那么 ( a = -b = 3 )。（反过来如果假设 ( b = 3 )，( a = -3 )，后面计算结果也完全一致）

计算目标积分 #

现在我们要算的积分是：
$$\int_0^1(f(x))4\cdot f'(x), dx$$
还是用同样的换元思路，令 ( u = f(x) )，积分转化为 ( \int_{f(0)}^{f(1)} u^4 du )，计算后得到：
$$\frac{1}{5}[(f(x))^5]_01=\frac{1}{5}\big((f(1))^5-(f(0))5\big)$$
代入我们算出的 ( f(1)=3 )，( f(0)=-3 )：
$$\frac{1}{5}\big(3^5 - (-3)^5\big) = \frac{1}{5}\big(243 - (-243)\big) = \frac{1}{5}\times486 = \frac{486}{5} = 97.2$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Leos Kotrop