求证：当13不整除整数m时，m⁴+8非整数立方

你已经通过费马小定理推导出了关键的前置结论：因为13不整除m，所以m^12 ≡ 1 mod 13，也就是(m^4)^3 ≡ 1 mod 13。接下来咱们通过枚举模13的立方剩余，结合这个结论完成证明，具体步骤如下：

步骤1：找出模13下所有的立方剩余 #

立方剩余指的是某个整数的立方模13的结果。我们计算0到12每个数的立方模13：

• 0³ ≡ 0 mod 13
• 1³ ≡ 1 mod 13，3³=27≡1 mod13，9³=729≡1 mod13
• 2³=8 mod13，5³=125≡8 mod13，6³=216≡8 mod13
• 4³=64≡12 mod13，10³=1000≡12 mod13，12³=1728≡12 mod13
• 7³=343≡5 mod13，8³=512≡5 mod13，11³=1331≡5 mod13

去重后，模13的立方剩余集合为：{0, 1, 5, 8, 12}。

步骤2：确定m⁴在模13下的可能取值 #

根据你推导的(m^4)^3 ≡ 1 mod13，说明m^4是方程x³ ≡ 1 mod13的解。解这个方程：

• 因式分解x³-1=(x-1)(x²+x+1)，显然x=1是一个解；
• 解二次方程x²+x+1≡0 mod13，判别式1-4=-3≡10 mod13（10是模13的二次剩余），计算得另外两个解为x=3和x=9。

因此，当13不整除m时，m^4的可能取值为：{1, 3, 9} mod13。

步骤3：验证m⁴+8模13的结果是否属于立方剩余 #

计算三种情况下m⁴+8的值：

• 若m^4≡1 mod13，则1+8=9 mod13
• 若m^4≡3 mod13，则3+8=11 mod13
• 若m^4≡9 mod13，则9+8=17≡4 mod13

观察这三个结果：9、11、4，没有一个出现在模13的立方剩余集合中。

结论 #

如果m⁴+8是某个整数的立方，那么它模13的结果必然属于立方剩余集合，但我们已经证明这不可能。因此，当13不整除m时，m⁴+8不是整数的立方。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Singh Chief