如何用归纳法证明复数域子域扩张的塔律等式？

云原生阿岚

2026-5-19

用数学归纳法证明域扩张次数的乘积公式

当然可以用归纳法来证明这个域扩张次数的乘积公式，而且完全可以把$K_0 \subseteq K_1$作为基础情形，咱们一步步来拆解：

基础情形（n=1）

当n=1时，等式左边是$[K_1 : K_0]$，右边也只有一项$[K_1 : K_0]$，显然两边完全相等，基础情形成立。

归纳假设

假设对于任意的正整数$k$（满足$1 \leq k < n$），当存在域链$K_0 \subseteq K_1 \subseteq \cdots \subseteq K_k$时，等式
$$[K_k : K_0] = [K_k : K_{k-1}][K_{k-1} : K_{k-2}] \cdots [K_1 : K_0]$$
成立。

归纳步骤

现在考虑长度为n的域链$K_0 \subseteq K_1 \subseteq \cdots \subseteq K_n$。我们可以把这个链拆成两段来看：前n-1个域组成的链$K_0 \subseteq K_1 \subseteq \cdots \subseteq K_{n-1}$，以及最后一步的扩张$K_{n-1} \subseteq K_n$。

这里要用到域扩张次数的核心乘法性质：对于任意三个满足$F \subseteq E \subseteq L$的域，扩张次数满足$[L:F] = [L:E][E:F]$。

我们把这个性质套用到当前的域链上：令$F=K_0$，$E=K_{n-1}$，$L=K_n$，那么就有：
$$[K_n : K_0] = [K_n : K_{n-1}][K_{n-1} : K_0]$$

再结合之前的归纳假设，$[K_{n-1} : K_0]$可以展开成$[K_{n-1} : K_{n-2}][K_{n-2} : K_{n-3}] \cdots [K_1 : K_0]$，把这个代入上式，就得到：
$$[K_n : K_0] = [K_n : K_{n-1}][K_{n-1} : K_{n-2}] \cdots [K_1 : K_0]$$
这就完成了归纳步骤的证明。