求证：2017人无平局网球锦标赛中至少存在一名奖杯得主

这是锦标赛图领域的经典问题，咱们用两种直观且严谨的方法来推导：

方法一：从「胜场最多的选手」切入 #

• 先在所有选手中找一个胜场数最多的选手，就叫他A吧（如果有多个胜场相同的，随便挑一个就行）。
• 咱们要证明A就是符合要求的奖杯得主：对任意选手Y，要么A直接赢了Y，要么A赢过某个能赢Y的选手Z。
• 用反证法来验证：假设存在某个选手Y，A既没直接赢Y，也没赢过任何能赢Y的选手。那会出现两个矛盾的结论：
  1. Y肯定直接赢了A（因为比赛无平局，A没赢Y就是Y赢A）；
  2. 所有能赢Y的选手，A都没赢过——换句话说，这些选手都赢了A。同时，A赢过的所有选手，肯定都输给了Y（不然的话，A赢了Z，Z赢了Y，那A就满足「间接击败Y」的条件了，和假设矛盾）。
• 这么算下来，Y的胜场数至少是A的胜场数+1（Y赢了A，还赢了所有A赢过的人），这和我们一开始假设A是「胜场最多的选手」完全矛盾！
• 所以这个假设不成立，A必然符合奖杯得主的条件。

方法二：数学归纳法 #

• 基例验证：
  • 当只有1名选手时，他自然是奖杯得主；
  • 当有2名选手时，赢的那一方直接击败对手，完全符合要求。
• 归纳假设：假设当锦标赛有n名选手时，一定存在至少一名奖杯得主。
• 归纳推导：现在考虑n+1名选手的情况：
  1. 先把其中n名选手单独拿出来，根据归纳假设，这n人里有一个奖杯得主X；
  2. 如果X击败了第n+1名选手Y，那X对Y直接获胜，同时对原来n人里的所有选手都满足条件，所以X就是整个n+1人锦标赛的奖杯得主；
  3. 如果Y击败了X，那Y就是新的奖杯得主：对于原来n人里的任意选手Z，要么Y直接赢了Z，要么Y赢了X——而X是原来n人的奖杯得主，X要么直接赢Z，要么赢过能赢Z的人，相当于Y通过X间接击败了Z，完全符合条件。
• 归纳推导成立，所以对于任意正整数n（包括题目中的2017），锦标赛里都至少有一名奖杯得主。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ancastack