证明π₁(X/G)≅G：如何确定G中元素在基本群中的映射？

嘿，你已经完成了最关键的铺垫——确认X是X/G的万有覆叠，这就好办多了！我们可以直接利用万有覆叠的覆叠变换群和底空间基本群的同构关系，来明确G到π₁(X/G)的映射。

核心思路：覆叠变换群Deck(p) ≅ π₁(X/G) #

首先回忆一个核心结论：对于万有覆叠映射 ( p: X \to Y )（这里( Y = X/G )），它的覆叠变换群( \text{Deck}(p) )（所有满足( p \circ f = p )的同胚( f: X \to X )构成的群）和底空间的基本群( \pi_1(Y) )是同构的。

而在你的问题里，( \text{Deck}(p) )正好就是G！因为G的每个元素( g \in G )都定义了一个覆叠变换：( f_g(x) = g \cdot x )，满足( p(g \cdot x) = p(x) )；同时，因为X单连通，任何覆叠变换都由它在某个基点的像唯一确定——而覆叠的纤维是( G \cdot x_0 )（( x_0 \in X )是任意基点），所以所有覆叠变换都对应G中的元素。

具体构造映射的步骤 #

我们可以一步步把G中的元素对应到π₁(X/G)的元素：

1. 选基点：固定( x_0 \in X )，记( y_0 = p(x_0) \in X/G )作为底空间的基点。
2. 对每个g∈G，找对应闭路径：
   • 因为X单连通，存在一条路径( \gamma: I \to X )，满足( \gamma(0) = x_0 )，( \gamma(1) = g \cdot x_0 )。
   • 把这条路径投影到底空间，得到( p \circ \gamma: I \to X/G )——这是一条以( y_0 )为基点的闭路径（因为( p(g \cdot x_0) = p(x_0) = y_0 )）。
3. 定义映射：令( \phi(g) = [p \circ \gamma] )，这里( [\cdot] )表示闭路径的同伦类，也就是π₁(X/G, y₀)中的元素。

验证这个映射的良定义性与同构性 #

• 良定义：如果换另一条路径( \gamma' )从( x_0 )到( g \cdot x_0 )，因为X单连通，( \gamma )和( \gamma' )是同伦的，那么它们的投影( p \circ \gamma )和( p \circ \gamma' )也在X/G中同伦，所以对应的基本群元素是同一个。
• 群同态：
  • 单位元( e \in G )：取常路径( \gamma(t) = x_0 )，投影后是常路径，对应π₁(X/G)的单位元，即( \phi(e) = 1 )。
  • 对( g_1, g_2 \in G )：取( \gamma_1 )是( x_0 )到( g_1 \cdot x_0 )的路径，( \gamma_2 )是( g_1 \cdot x_0 )到( g_1g_2 \cdot x_0 )的路径（也就是( g_1 \cdot \gamma_2' )，其中( \gamma_2' )是( x_0 )到( g_2 \cdot x_0 )的路径）。那么( \gamma_1 * \gamma_2 )是( x_0 )到( g_1g_2 \cdot x_0 )的路径，投影后是( (p \circ \gamma_1) * (p \circ \gamma_2) )，对应( \phi(g_1)\phi(g_2) )，即( \phi(g_1g_2) = \phi(g_1)\phi(g_2) )。
• 双射：
  • 单射：如果( \phi(g) = 1 )，说明( p \circ \gamma )同伦于常路径，那么这条闭路径的提升（起点为( x_0 )）是一条同伦于常路径的路径，终点必然是( x_0 )，即( g \cdot x_0 = x_0 )。因为G自由作用，所以( g = e )。
  • 满射：对π₁(X/G)中任意元素( [\delta] )，取代表闭路径( \delta: I \to X/G )，起点终点都是( y_0 )。把它提升到X中起点为( x_0 )的路径( \tilde{\delta} )，终点必然是某个( g \cdot x_0 )（因为纤维是( G \cdot x_0 )），那么( \phi(g) = [\delta] )。

简单来说，G中的每个元素g，对应到X/G中“从y₀出发，沿着x₀到g·x₀的路径投影后的闭路径”的同伦类，这个对应就是你要找的同构映射～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Yunus Syed