判断函数$f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 ,f(x,y)=(x+4y,-3x-12y)$是否为满射并求证

你其实已经找对了核心思路！你的推导方向完全正确，我们可以把这个过程梳理成严谨的证明：

首先明确满射的定义：一个函数$f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$是满射，当且仅当对任意的$(a,b) \in \mathbb{R}^2$，都存在至少一个$(x,y) \in \mathbb{R}^2$，使得$f(x,y)=(a,b)$。

要判断$f$是否为满射，我们可以转化为分析方程组的解的存在性：若$f(x,y)=(a,b)$，则等价于解以下线性方程组：

x + 4y = a
-3x - 12y = b

对这个方程组做初等变换：把第一个方程两边乘以3，得到$3x + 12y = 3a$，再将它与第二个方程相加：
$$
(3x + 12y) + (-3x - 12y) = 3a + b
$$
化简后得到关键结论：
$$
0 = 3a + b \quad \text{即} \quad b = -3a
$$
这说明：只有当目标元素$(a,b)$满足$b=-3a$时，对应的原像$(x,y)$才存在。也就是说，$\mathbb{R}^2$中不满足这个条件的元素，都无法被$f$映射到。

我们可以构造一个具体的反例来验证：取$(a,b)=(0,1)$，这个元素显然属于$\mathbb{R}^2$，但它不满足$b=-3a$（因为$1 \neq -3 \times 0$）。假设存在$(x,y) \in \mathbb{R}^2$使得$f(x,y)=(0,1)$，则：

x + 4y = 0
-3x -12y = 1

将第一个方程乘以3得$3x + 12y = 0$，与第二个方程相加会得到$0=1$，这是一个矛盾式，因此不存在这样的$(x,y)$。

综上，由于$\mathbb{R}^2$中存在无法被$f$映射到的元素（比如$(0,1)$），所以函数$f$不是满射。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Brandon O'Neil