素数集合基数问题措辞正误核查及公式$p^{k-1}(p-1)$合理性问询

咱们直接说核心：你对公式$p^{k-1}(p-1)$的质疑里，措辞存在明显的概念混淆错误，具体掰扯清楚：

• 你提到的“有$(p-1)$个非零等价类，每个等价类出现在p的连续幂次之间，共有k个此类区间，因此对应的整数数量应为$k(p-1)$”——这里的关键错误是误将每个幂次区间内符合条件的整数数量固定为$(p-1)$，忽略了不同区间内的数量是递增的。
• 实际语境中，$p^{{k-1}(p-1)$是欧拉函数$\phi(p}k)$的计算结果，代表的是小于等于$p^k$且与$pk$互质的正整数总数。这类数本质是所有不被p整除的数，计算逻辑是：总数$p^{k$减去其中被p整除的数的数量$p}{k-1}$，最终得到$p^k - p^{k-1} = p^{k-1}(p-1)$。
• 若按你所说的“p的连续幂次区间”（比如$[1,p), [p,p^2), ..., [p^{k-1},pk]$），每个区间内不被p整除的数的数量是不同的：第一个区间有$p-1$个，第二个区间有$p(p-1)$个，第三个区间有$p^{2(p-1)$个……直到第k个区间是$p}{k-1}(p-1)$个。把这些区间的数量累加起来，总和才是$p^{k-1}(p-1)$，绝非简单用$(p-1)$乘以k。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Makogan