仿射代数到多项式环的单同态是否为整扩张？是否诱导谱满射？

首先直接给出结论：这个扩张不一定是整扩张，且f诱导的谱映射也不一定是满射，下面分别用具体例子说明：

1. 扩张不一定是整扩张 #

取域k，令A=k[t]，定义单同态f:A→k[x,y,z]为f(t)=x。此时，k[x,y,z]中的元素y在A=k[x]上不是整元：
假设y是整元，那么存在首一多项式 ( P(u) = u^n + a_{n-1}(x)u^{n-1} + \dots + a_0(x) \in k[x][u] )，使得 ( P(y)=0 )。但代入后得到 ( y^n + a_{n-1}(x)y^{n-1} + \dots + a_0(x) = 0 )，这个表达式中y的最高次项系数为1，其余项的y次数均低于n，且系数都是x的多项式——由于x和y在k上代数无关，这些项不可能相互抵消为0，矛盾。因此y不是整元，故k[x,y,z]不是A的整扩张。

2. 谱映射不一定是满射 #

同样取域k，令A=k[t₁,t₂]，定义单同态f:A→k[x,y,z]为 ( f(t₁)=x )，( f(t₂)=xy )（易证这是单同态：若非零多项式 ( P(t₁,t₂) ) 满足 ( P(x,xy)=0 )，则展开后会得到x和y的非零多项式，矛盾）。

现在考虑A中的素理想 ( q=(t₁, t₂-1) )（即t₁=0，t₂=1）：
假设存在素理想 ( p \in \text{Spec}(k[x,y,z]) ) 使得 ( p \cap A = q )，那么 ( x=f(t₁) \in p )，且 ( xy-1=f(t₂)-1 \in p )。但x∈p意味着xy∈p，进而 ( (xy) - (xy-1) = 1 \in p )，这说明p是单位理想，不是素理想。因此q在 ( \text{Spec}(k[x,y,z]) ) 中没有原像，即f诱导的谱映射不是满射。

补充一点：整扩张的一个重要性质是Going Up定理——若B是A的整扩张，则 ( \text{Spec}(B) \to \text{Spec}(A) ) 是满射，但反过来不成立（比如第一个例子中谱映射是满射，但扩张不是整的），而上面的第二个例子则说明，即使是单同态，谱映射也可能不满，更不用说整扩张了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者numbertheorist