已证2^k不整除S中其他整数，求证n>1时1到n倒数和非整数的提示

嘿，你已经抓住了这个问题的核心关键点——找到集合里唯一的最高次2的幂元素，接下来可以沿着这个方向一步步推导：

• 先把调和数写成通分后的既约分数形式：设 ( H_n = \sum_{j=1}^n \frac{1}{j} = \frac{C}{D} )，其中 ( C ) 和 ( D ) 是互质的整数，( D ) 是 ( 1,2,\dots,n ) 的最小公倍数。
• 聚焦分析分子 ( C ) 的奇偶性：
  • 当 ( j = 2^k ) 时，计算 ( \frac{D}{j} )：因为 ( D ) 是包含 ( 2^k ) 的最小公倍数，去掉 ( j=2^k ) 这个因子后，( \frac{D}{j} ) 里不再含有因子2，是一个奇数。
  • 当 ( j \neq 2^k ) 时，根据你的结论，( j ) 中2的幂次最多是 ( 2^{k-1} )，所以 ( \frac{D}{j} ) 里至少还剩下一个因子2，结果是偶数。
• 分子 ( C ) 其实就是所有 ( \frac{D}{j} ) 的总和：一个奇数加上若干个偶数，最终结果必然是奇数。而分母 ( D ) 因为 ( n>1 )，肯定包含因子2，是偶数。
• 最后反问自己：一个分子为奇数、分母为偶数的既约分数，有可能是整数吗？

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Dota2