求解由3×3矩阵行列式推导的含a、B的三次方程（求E）

嘿，我来帮你搞定这个因式分解的问题！咱们一步步来，把这个三次方程拆解清楚。

首先，先做个变量替换简化方程，让它看起来更直观：令 x = a - E，那么原方程就转化为：

x³ - 3B²x + 2B³ = 0

你已经知道 E = a + 2B 是原方程的解，代入 x 的表达式可以算出：x = a - (a + 2B) = -2B，也就是说 x = -2B 是这个简化后三次方程的一个根。接下来我们就可以把三次多项式分解成 (x + 2B) 乘以一个二次多项式的形式。

咱们用配方法来完成因式分解：
把原式拆分成可以分组提取公因式的形式：

x³ + 2Bx² - 2Bx² - 4B²x + B²x + 2B³ = 0

然后分组处理，每一组提取公因式：

x²(x + 2B) - 2Bx(x + 2B) + B²(x + 2B) = 0

现在每一项都含有 (x + 2B) 这个公因子，把它提出来之后，剩下的部分刚好是一个完全平方：

(x + 2B)(x² - 2Bx + B²) = 0
(x + 2B)(x - B)² = 0

最后把 x = a - E 代回分解后的方程，就得到：

(a - E + 2B)(a - E - B)² = 0

现在解这个方程就很容易了：

• 当 a - E + 2B = 0 时，得到解 E = a + 2B（也就是你已知的那个解）
• 当 (a - E - B)² = 0 时，得到二重根 E = a - B

这样就得到了用 a 和 B 表示的所有 E 的解啦！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Henry Cooper