求助：证明满足特定条件的s为非空上有界集合A的上确界

我懂这种“直观上明白但不知道怎么写严谨证明”的感觉，其实只要紧扣上确界（supremum）的定义拆成两步来证就很清晰了——上确界需要同时满足两个核心条件：一是它是集合的上界，二是它是所有上界里最小的那个。我们就对着这两个条件逐一验证：

第一步：证明 $s$ 是 $A$ 的上界 #

假设存在某个 $a \in A$，使得 $a > s$。那我们可以取正整数 $n$ 满足 $\frac{1}{n} < a - s$（根据实数的阿基米德性质，这样的 $n$ 肯定存在）。此时：
$$s + \frac{1}{n} < s + (a - s) = a$$
但题目里明确说对任意 $n \in \mathbb{N}$，$s + \frac{1}{n}$ 是 $A$ 的上界，这就意味着 $a \leq s + \frac{1}{n}$，和上面的推导矛盾。所以假设不成立，所有 $A$ 中的元素都满足 $a \leq s$，即 $s$ 是 $A$ 的上界。

第二步：证明 $s$ 是 $A$ 的最小上界 #

也就是说，对任意的 $\varepsilon > 0$，都存在某个 $a \in A$，使得 $a > s - \varepsilon$（这是“最小上界”的等价定义：没有比 $s$ 更小的数能成为 $A$ 的上界）。

给定任意 $\varepsilon > 0$，我们取正整数 $n$ 满足 $\frac{1}{n} < \varepsilon$（同样由阿基米德性质保证存在性）。根据题目条件，$s - \frac{1}{n}$ 不是 $A$ 的上界，这就意味着存在至少一个 $a \in A$，使得 $a > s - \frac{1}{n}$。而因为 $\frac{1}{n} < \varepsilon$，所以：
$$a > s - \frac{1}{n} > s - \varepsilon$$
这就满足了“最小上界”的要求——任何比 $s$ 小的数（比如 $s - \varepsilon$）都不是 $A$ 的上界。

结合以上两步，$s$ 同时满足上确界的两个核心条件，所以 $s = \sup A$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Bunny