无需半群理论，如何证明指数算子族具有一致有界性？

先理清楚已知条件和要证的结论：

• 设$T\in B(X)$，$X$是任意Banach空间，通过全纯泛函演算定义了算子族${e^{tT}}_{t\in\mathbb R}$
• 已经证得两个核心性质：$\frac{d}{dt}e^{tT}=Te{tT}$，且该算子族关于乘法构成群
• 目标：若$\sigma(T)\subset{z\in\mathbb C:\text{Re},z<0}$，证明存在正数$M$，使得$\sup_{t\geq 0} |e^{tT}|\leq M$

证明思路与步骤 #

首先，利用谱的紧性，我们可以找到一个正数$\alpha>0$，让$\sigma(T)$完全包含在半平面${z\in\mathbb C:\text{Re},z\leq -\alpha<0}$内——毕竟谱是闭集，和虚轴有正距离。

接下来用全纯泛函演算的围道积分表示：对于任意$t\geq0$，$e^{tT}$可以写成
$$e^{tT}=\frac{1}{2\pi i}\int_\Gamma e^{tz}(zI-T){-1}dz$$
这里$\Gamma$是一条包围$\sigma(T)$的光滑闭围道，并且整个围道都落在$\text{Re},z\leq -\alpha/2<0$的区域里（因为谱紧，总能找到这样的围道）。

现在来估计这个积分的算子范数：
$$|e^{tT}|\leq \frac{1}{2\pi}\int_\Gamma |e^{tz}| \cdot |(zI-T)^{-1}| \cdot |dz|$$
分析右边的各项：

• 对于围道$\Gamma$上的任意$z$，$\text{Re},z\leq -\alpha/2$，所以$|e^{tz}|=e{t\cdot\text{Re},z}\leq e^{-t\alpha/2}\leq1$（因为$t\geq0$，指数项非增）
• 由于$\Gamma$是预解集$\rho(T)$里的紧集，而算子值函数$(zI-T)^{{-1}$在$\rho(T)$上连续，紧集上的连续函数必有界，所以存在常数$C>0$，使得对所有$z\in\Gamma$，$|(zI-T)}{-1}|\leq C$
• 设围道$\Gamma$的长度为$L$，这是一个固定的正数

把这些代入不等式，就能得到：
$$|e^{tT}|\leq \frac{1}{2\pi} \cdot 1 \cdot C \cdot L$$
令$M=\frac{CL}{2\pi}$，显然$M>0$，而且对于所有$t\geq0$，$|e^{tT}|\leq M$，这就证明了$\sup_{t\geq0}|e^{tT}|\leq M$。

补充：有限维情形的验证 #

有限维空间里，$T$可以化为Jordan标准形，每个Jordan块对应的指数矩阵，其元素要么是指数衰减项（来自特征值实部负），要么是多项式乘指数衰减项——不管哪种，当$t\geq0$时，整个矩阵的范数都会被某个常数控制住，和无限维的结论一致，只是不需要用围道积分，直接计算矩阵指数就能验证。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者K.Power