请求协助求解含Gamma系数的联合后验函数积分

首先，我注意到你写的积分上限是$\infty$，但结合被积函数里的$(1-p)$幂次形式，这里应该是笔误——正确的积分区间应该是$[0,1]$（否则当$p>1$时$(1-p)$为负数，若指数不是整数的话积分会发散，而从形式看这是典型的Beta分布相关积分，区间为0到1）。另外，你写的$\sum_{i=1}^{{\infty}x_i$也应该是笔误，对应前面的$\sum_{i=1}}n x_i$，我先记$S = \sum_{i=1}^n x_i$，接下来一步步拆解求解：

1. 简化被积函数 #

先合并$p$和$(1-p)$的指数项：
$$
p^2(1-p)2 p^S (1-p)^{n-S} = p^{2+S} (1-p)^{2 + (n-S)} = p^{S+2} (1-p)^{n+2 - S}
$$

2. 计算系数$k$ #

利用Gamma函数的整数性质$\Gamma(n+1)=n!$（$n$为正整数）：
$$
k = \frac{\Gamma(6)}{\Gamma(3)\Gamma(3)} = \frac{5!}{2! \cdot 2!} = \frac{120}{2 \times 2} = 30
$$

3. 用Beta函数求解积分 #

Beta函数的定义为：
$$
B(a,b) = \int_0^1 p^{a-1}(1-p){b-1} dp = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}
$$
对比我们的积分，令$a-1 = S+2$，$b-1 = n+2 - S$，即$a = S+3$，$b = n+3 - S$，则积分部分可转化为Beta函数：
$$
\int_0^1 p^{S+2}(1-p){n+2 - S} dp = B(S+3, n+3 - S) = \frac{\Gamma(S+3)\Gamma(n+3 - S)}{\Gamma((S+3)+(n+3 - S))} = \frac{\Gamma(S+3)\Gamma(n+3 - S)}{\Gamma(n+6)}
$$

4. 代入系数并化简 #

将$k$和积分结果结合，再用$\Gamma(m+1)=m!$进一步化简：
$$
\begin{align*}
\text{原式} &= 30 \cdot \frac{\Gamma(S+3)\Gamma(n+3 - S)}{\Gamma(n+6)} \
&= 30 \cdot \frac{(S+2)! \cdot (n+2 - S)!}{(n+5)!}
\end{align*}
$$

如果用组合数表示，因为$\binom{n+5}{S+3} = \frac{(n+5)!}{(S+3)! \cdot (n+2 - S)!}$，也可以写成：
$$
\text{原式} = \frac{30}{(S+3) \cdot \binom{n+5}{S+3}}
$$

需要注意的是，这个结果成立的条件是$S+3 > 0$且$n+3 - S > 0$，结合$S = \sum_{i=1}^n x_i$的实际意义（通常$x_i$非负），只要$S \leq n+2$即可保证积分收敛。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Itsnhantransitive