关于条件概率的疑问：能否认为P(A∣B) < P(A)？

别着急下结论，咱们一步步拆解这个问题。你提到的两个前提都没问题：条件概率公式P(A∣B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}是对的，而且A∩B确实是A的子集，所以P(A∩B) ≤ P(A)也成立，但这并不意味着P(A∣B)一定小于P(A)。

关键要看P(A∩B)和P(A)*P(B)的大小关系，这直接决定了条件概率和原概率的对比：

• 当P(A∩B) < P(A)*P(B)（也就是事件B和A负相关）时，P(A∣B) < P(A)；
• 当P(A∩B) = P(A)*P(B)（也就是A和B独立）时，P(A∣B) = P(A)；
• 当P(A∩B) > P(A)*P(B)（也就是A和B正相关）时，P(A∣B) > P(A)。

举几个实际例子就更清楚了：

• 独立事件例子：抛两次硬币，A是“第一次正面朝上”，B是“第二次正面朝上”。P(A)=0.5，P(A∩B)=0.25，P(B)=0.5，代入公式得P(A∣B)=0.25/0.5=0.5，和P(A)相等；
• 正相关例子：A是“考试及格”，B是“考前复习8小时以上”。显然复习时间足够长的话，及格概率会比平时更高，也就是P(A∣B) > P(A)；
• 负相关例子：A是“出门不带伞”，B是“天气预报说当天有雨”。这时候带伞的人会变多，不带伞的概率自然比平时低，也就是P(A∣B) < P(A)。

所以结论很明确：不能必然得出P(A∣B) < P(A)的结论，结果取决于事件A和B的相关性。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者snazziii