用数学归纳法证明对任意正整数n，2^(5n+1)+5^(n+2)可被27整除

我来帮你把这个证明补全并梳理清楚，你已经完成了基础部分，接下来帮你修正归纳假设里的小问题，再搞定关键的归纳步骤：

步骤1：基础情况（n=1） #

你验证得完全没问题：
$$2^{5(1)+1}+5{(1)+2}=2⁶⁺⁵3=64+125=189$$
计算$189 \div 27 =7$，余数为0，基础情况成立。

步骤2：修正归纳假设 #

这里有个小细节要注意：你写的假设是$2^{5k + 1} + 5^{k + 2}=27k$，但这里的k是我们的归纳变量，再用它表示倍数的系数会造成混淆，正确的假设应该是：

假设当n=k（k为正整数）时，$2^{5k + 1} + 5^{k + 2}$可被27整除，即存在某个正整数m，使得：
$$2^{5k + 1} + 5^{k + 2}=27m$$

步骤3：归纳步骤（证明n=k+1时成立） #

我们需要证明$2^{5(k+1)+1} +5^{(k+1)+2}$可被27整除，先展开式子：
$$2^{5(k+1)+1} +5^{(k+1)+2} = 2^{5k+6} +5^{k+3}$$

接下来把式子变形，凑出和归纳假设相关的项：
$$
\begin{align*}
2^{5k+6} +5^{k+3}&=25 \times 2^{5k+1} +5 \times5^{k+2} \
&=32\times2^{{5k+1}+5\times5}{k+2}
\end{align*}
$$

把32拆成$27+5$，这样就能分离出27的倍数项：
$$
\begin{align*}
32\times2^{{5k+1}+5\times5}{k+2}&=(27+5)\times2^{5k+1} +5\times5^{k+2} \
&=27\times2^{5k+1} +5\times(2^{5k+1}+5{k+2})
\end{align*}
$$

根据归纳假设，$2^{5k+1}+5{k+2}=27m$，代入上式：
$$
\begin{align*}
27\times2^{5k+1} +5\times27m&=27\times(2^{5k+1}+5m)
\end{align*}
$$

显然，$2^{{5k+1}+5m$是一个整数，所以整个式子是27的整数倍，即$2}{5(k+1)+1} +5^{(k+1)+2}$可被27整除。

这样就完成了完整的数学归纳法证明啦～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Singh Chief