正定矩阵S是否总能表示为S=A^T A？求简易证明（关联Strang教材）

好问题！答案是肯定的——任意正定矩阵$S$都可以写成$S=A^T A$的形式，而且有个非常直观的证明，刚好能和Strang《线性代数导论》里的内容呼应上，下面给你拆解一下：

核心证明思路（利用正交对角化） #

正定矩阵有两个关键性质是证明的基础：

• 正定矩阵必然是对称矩阵：对任意非零向量$x$，$x^T Sx > 0$，而$x^T Sx = (x^T Sx)^T = x^T S^T x$，因此$S = S^T$。
• 正定矩阵的所有特征值都是正数：假设$\lambda$是$S$的特征值，对应特征向量$v$，则$v^T S v = \lambda v^T v > 0$，而$v^T v > 0$，所以$\lambda > 0$。

基于这两个性质，我们可以用正交对角化来构造$A$：

1. 因为$S$是对称矩阵，根据谱定理，存在正交矩阵$Q$（满足$Q^T Q = I$，即$Q^{-1}=QT$），使得$S$可以对角化为：
   $$S = Q \Lambda Q^T$$
   其中$\Lambda$是对角矩阵，对角线元素就是$S$的所有特征值，且全为正数。
2. 对对角矩阵$\Lambda$，我们可以定义它的平方根矩阵$\Lambda^{1/2}$：就是把$\Lambda$对角线上的每个正数特征值都取平方根得到的对角矩阵。显然$\Lambda = \Lambda^{1/2} \Lambda^{1/2}$，而且因为对角矩阵的转置等于自身，所以$\Lambda = (\Lambda^{1/2})T \Lambda^{1/2}$。
3. 把$\Lambda$的表达式代入$S$的对角化公式：
   $$S = Q (\Lambda^{1/2} \Lambda^{1/2}) Q^T = (Q \Lambda^{1/2})T (Q \Lambda^{1/2})$$
   令$A = Q \Lambda^{1/2}$，那么就得到了$S = A^T A$。

额外提一句：这里的$A$是可逆矩阵，因为$Q$是正交可逆的，$\Lambda^{{1/2}$的对角元都是正数，同样可逆，所以它们的乘积也可逆。反过来，如果$S=A}T A$且$A$可逆，那么$S$也一定是正定矩阵，这是个双向的结论，但你问的正向推导就到这里啦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者helios321