已知A⁻¹+B⁻¹=(A+B)⁻¹，求证det(A)=det(B)的后续步骤问询

嘿，你已经摸到最核心的推导节点了！咱们用换元法简化等式，一步步推导出结论：

• 步骤1：引入辅助矩阵简化表达式
  令$C = A^{-1}B$，因为A、B都是可逆实矩阵，所以C也是可逆实矩阵，且$B = AC$。把$B=AC$代入你已得到的等式$B^{-1}A + A^{-1}B = -I_n$：
  $$
  (AC)^{-1}A + C = -I_n
  $$
  展开计算左边：$(AC)^{-1}=C{-1}A^{{-1}$，因此$(C}{-1}A^{-1})A = C^{{-1}$，左边化简为$C}{-1} + C$，等式变为：
  $$
  C + C^{-1} = -I_n
  $$

• 步骤2：推导C满足的多项式方程
  给上述等式两边左乘可逆矩阵C，消去逆矩阵：
  $$
  C^2 + I_n = -C
  $$
  整理后得到C的矩阵方程：
  $$
  C^2 + C + I_n = 0
  $$

• 步骤3：利用行列式性质推导$\det(C)$的值
  由$C^2 + C + I_n = 0$，结合因式分解公式$(C - I_n)(C^2 + C + I_n) = C^3 - I_n$，可得$C^3 = I_n$（C是三次单位矩阵）。
  对等式两边取行列式，根据行列式的幂次性质$\det(M^k)=(\det(M))k$：
  $$
  (\det(C))^3 = \det(I_n) = 1
  $$
  因为C是实矩阵，$\det(C)$必为实数，而实数范围内满足$x^3=1$的解只有$x=1$，因此$\det(C)=1$。

• 步骤4：关联回A和B的行列式
  回忆$C = A^{-1}B$，根据行列式的乘积性质：
  $$
  \det(C) = \det(A^{-1}B) = \det(A^{-1})\det(B) = \frac{\det(B)}{\det(A)}
  $$
  代入$\det(C)=1$，直接可得：
  $$
  \frac{\det(B)}{\det(A)} = 1 \implies \det(A) = \det(B)
  $$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者debdutt