有限维向量空间中线性变换像与核的包含关系证明/证伪

咱们来逐个处理这两个命题，先证明第一个成立，再构造反例推翻第二个：

命题1：若${\rm Im}(T+S)\subseteq {\rm Im}(T)$，则${\rm Im}(S)\subseteq {\rm Im}(T)$（成立） #

证明过程： #

任取$w\in {\rm Im}(S)$，根据像空间的定义，存在向量$v\in V$使得$S(v)=w$。现在考虑$v$在$T+S$下的像：
$$(T+S)v\stackrel{(1)}{=}T(v)+S(v)=T(v)+w$$
这里的(1)是直接利用线性变换的可加性（线性性的一部分）得到的。

因为已知${\rm Im}(T+S)\subseteq {\rm Im}(T)$，所以$(T+S)v$必然属于${\rm Im}(T)$，也就是说存在某个$v'\in V$，使得$(T+S)v=T(v')$。

把之前的表达式代入这个等式：
$$T(v)+w=T(v')$$
移项后得到：
$$w=T(v')-T(v)$$
再根据线性变换的线性性（齐次性+可加性），$T(v')-T(v)=T(v'-v)$，而$v'-v$显然属于$V$，这就说明$w$是$T$作用在某个$V$中向量上的结果，即$w\in {\rm Im}(T)$。

由于$w$是${\rm Im}(S)$中任意选取的元素，因此整个${\rm Im}(S)$都包含在${\rm Im}(T)$里，命题1得证。

命题2：若${\rm Ker}(T+S)\subseteq {\rm Ker}(T)$，则${\rm Ker}(S)\subseteq {\rm Ker}(T)$（不成立） #

我们可以通过构造反例来证伪这个命题：

反例构造： #

设$V=W=\mathbb{R}^3$，取标准基${\boldsymbol{e}_1=(1,0,0),\boldsymbol{e}_2=(0,1,0),\boldsymbol{e}_3=(0,0,1)}$，定义两个线性变换：

• $T(x,y,z)=(x,0,0)$：这是投影到第一个坐标轴的变换，它的核空间${\rm Ker}(T)={(0,y,z)\mid y,z\in\mathbb{R}}$（所有第一个分量为0的三维向量）。
• $S(x,y,z)=(0,y,-z)$：这个变换保持第一个分量为0，反转第三个分量，它的核空间${\rm Ker}(S)={(x,0,0)\mid x\in\mathbb{R}}$（所有第二、第三个分量为0的三维向量）。

首先计算$T+S$的作用：
$$(T+S)(x,y,z)=T(x,y,z)+S(x,y,z)=(x,0,0)+(0,y,-z)=(x,y,-z)$$
它的核空间${\rm Ker}(T+S)$是满足$(x,y,-z)=(0,0,0)$的向量，显然只有零向量：${\rm Ker}(T+S)={(0,0,0)}$。

显然零向量属于${\rm Ker}(T)$，所以${\rm Ker}(T+S)\subseteq {\rm Ker}(T)$这个前提条件是满足的。

但看${\rm Ker}(S)$中的元素，比如$\boldsymbol{v}=(1,0,0)$：

• 显然$\boldsymbol{v}\in {\rm Ker}(S)$，因为$S(1,0,0)=(0,0,0)$；
• 但$T(1,0,0)=(1,0,0)\neq(0,0,0)$，所以$\boldsymbol{v}\notin {\rm Ker}(T)$。

这说明${\rm Ker}(S)$中存在元素不在${\rm Ker}(T)$里，即${\rm Ker}(S)\nsubseteq {\rm Ker}(T)$，因此命题2不成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者gbox