分块矩阵行列式化简：求解4×4矩阵M的行列式

让我们一步步用给定的分块矩阵行列式公式来计算这个4×4矩阵的行列式。

首先明确已知条件：

给定4×4矩阵：
$$
\mathbf{M} = \begin{pmatrix} a & -b & 0 & d\ -b & a & -d & 0\ 0 & -d & -a & -b \ d & 0 & -b & -a \
\end{pmatrix}
$$
其分块形式为：
$$
\mathbf{M} = \begin{pmatrix} A & B\ -B & D \end{pmatrix}
$$
我们将使用公式：
$$
\det\begin{pmatrix} A & B\ C & D \end{pmatrix}=\det(A-BD^{-1}C)\det(D)
$$

首先分解分块矩阵的子矩阵：

• 子矩阵$A$：
  $$
  A = \begin{pmatrix} a & -b \ -b & a \end{pmatrix}
  $$
• 子矩阵$B$：
  $$
  B = \begin{pmatrix} 0 & d \ -d & 0 \end{pmatrix}
  $$
• 子矩阵$D$：
  $$
  D = \begin{pmatrix} -a & -b \ -b & -a \end{pmatrix}
  $$
• 对应公式中的$C = -B$，即：
  $$
  C = \begin{pmatrix} 0 & -d \ d & 0 \end{pmatrix}
  $$

第一步：计算$\det(D)$ #

对于2×2矩阵$\begin{pmatrix} p & q \ r & s \end{pmatrix}$，行列式为$ps - qr$，代入$D$的元素：
$$
\det(D) = (-a)(-a) - (-b)(-b) = a^2 - b^2
$$

第二步：计算$D^{-1}$ #

2×2矩阵的逆矩阵公式为$\frac{1}{\det(D)}\begin{pmatrix} s & -q \ -r & p \end{pmatrix}$，代入$D$的元素：
$$
D^{-1} = \frac{1}{a^2 - b^2} \begin{pmatrix} -a & b \ b & -a \end{pmatrix}
$$

第三步：计算$BD^{-1}C$ #

先计算$D^{-1}C$：
$$
D^{-1}C = \frac{1}{a^2 - b^2} \begin{pmatrix} -a & b \ b & -a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -d \ d & 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{a^2 - b^2} \begin{pmatrix} bd & ad \ -ad & -bd \end{pmatrix}
$$
再乘以$B$：
$$
BD^{-1}C = \begin{pmatrix} 0 & d \ -d & 0 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{a^2 - b^2} \begin{pmatrix} bd & ad \ -ad & -bd \end{pmatrix} = \frac{1}{a^2 - b^2} \begin{pmatrix} -ad^2 & -bd^2 \ -bd^2 & -ad^2 \end{pmatrix}
$$

第四步：计算$A - BD^{-1}C$ #

将$A$与$BD^{-1}C$相减并通分化简：
$$
A - BD^{-1}C = \frac{1}{a^2 - b^2} \begin{pmatrix} a(a^2 - b^2 + d^2) & b(-a^2 + b^2 + d^2) \ b(-a^2 + b^2 + d^2) & a(a^2 - b^2 + d^2) \end{pmatrix}
$$

第五步：计算$\det(A - BD^{-1}C)$ #

对这个对称2×2矩阵计算行列式，利用平方差公式分解化简后得到：
$$
\det(A - BD^{-1}C) = \frac{a^4 + b^4 + d^4 + a^2b2 + 2a^2d2 + 2b^2d2}{a^2 - b^2}
$$

第六步：计算$\det(M)$ #

代入给定公式$\det(M) = \det(A - BD^{-1}C) \cdot \det(D)$，抵消分母后得到：
$$
\det(M) = a^4 + b^4 + d^4 + a^2b2 + 2a^2d2 + 2b^2d2
$$
也可以整理为更简洁的因式分解形式：
$$
\det(M) = (a^2 + ab + b^2 + d^2)(a2 - ab + b^2 + d^2)
$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Aschoolar