如何证明函数g:ℕ→ℤ不是满射？

你的思路完全正确！要证明这个函数不是满射，通过证明不存在自然数n使得g(n)=0来完成是完全可行的，下面我来一步步拆解这个证明过程：

首先明确已知条件和函数定义：

• 自然数集$\mathbb{N}$不含0，即$\mathbb{N} = {1,2,3,\dots}$
• 函数$g: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}$的定义为：
  $$g(n) = \begin{cases}
  \frac{n+1}{2} & \text{当n为奇数时} \
  -\frac{n}{2} & \text{当n为偶数时}
  \end{cases}$$

满射的核心定义回顾 #

一个函数$f: A \to B$是满射，当且仅当对于B中的每一个元素，都存在至少一个A中的元素与之对应。放到这个问题里，就是要满足：对任意$z \in \mathbb{Z}$，都存在$n \in \mathbb{N}$使得$g(n)=z$。反过来，只要找到一个$z \in \mathbb{Z}$，不存在这样的$n \in \mathbb{N}$，就能证明g不是满射。

具体证明过程 #

我们来证明：不存在$n \in \mathbb{N}$使得$g(n)=0$，分两种情况讨论：

• 情况1：n是奇数
  根据定义，$g(n) = \frac{n+1}{2}$。如果$\frac{n+1}{2}=0$，解得$n=-1$。但$-1$不属于$\mathbb{N}$（因为$\mathbb{N}$不含0和负数），矛盾。
• 情况2：n是偶数
  根据定义，$g(n) = -\frac{n}{2}$。如果$-\frac{n}{2}=0$，解得$n=0$。但题目明确0∉$\mathbb{N}$，矛盾。

两种情况都无法找到符合条件的自然数n，说明0是整数集$\mathbb{Z}$中一个无法被g映射到的元素。结合满射的定义，g不能覆盖$\mathbb{Z}$的所有元素，因此g不是满射。

额外补充：g的值域分析 #

其实我们也可以直接看g的值域：

• 当n取奇数时，g(n)依次为1,2,3,...，即所有正整数；
• 当n取偶数时，g(n)依次为-1,-2,-3,...，即所有负整数。

所以g的值域是$\mathbb{Z} \setminus {0}$，显然不等于$\mathbb{Z}$，这也能直接证明g不是满射。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Brandon O'Neil