关于集合证明：由P(A)∪P(B)=P(C)推导A=C或B=C的疑问

你好！你的推导里关键错误出在从P(C)⊆P(A)∪P(B)推导结论的步骤，我们来一步步拆解问题：

你的推导正确部分 #

首先，从P(A)∪P(B)⊆P(C)出发的推导是完全正确的：

• 因为A⊆A，所以A∈P(A)，而P(A)⊆P(A)∪P(B)⊆P(C)，因此A∈P(C)，即A⊆C；
• 同理，B∈P(B)，所以B∈P(C)，即B⊆C。

你的推导错误点 #

你在处理P(C)⊆P(A)∪P(B)时，错误地得出了C⊆A且C⊆B，这是对并集定义的误用。正确的逻辑应该是：

• 任何集合都是自身幂集的元素（因为C⊆C），所以C∈P(C)；
• 由于P(C)⊆P(A)∪P(B)，根据子集的定义，C必须属于P(A)或者P(B)（并集的核心是元素属于其中至少一个集合）；
• 也就是说，C∈P(A) 或 C∈P(B)，翻译为集合包含关系就是C⊆A 或 C⊆B，而不是你误以为的“且”。

正确的完整推导 #

结合两部分结论：

1. 从P(A)∪P(B)⊆P(C)得到：A⊆C且B⊆C；
2. 从P(C)⊆P(A)∪P(B)得到：C⊆A或C⊆B；

分情况讨论：

• 若C⊆A，结合A⊆C，根据集合相等的定义，可得A=C；
• 若C⊆B，结合B⊆C，可得B=C；

因此最终结论是A=C或B=C，完全符合要证明的命题。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Eran Anton