复数方程组求解咨询：不用克莱姆法则求z₁与z₂的方法

对于给定的复数方程组：

$$
\begin{cases}
(-1+i)z_1+(2i-3)z_2=-2; \
(2+2i)z_1+(3+5i)z_2=0.
\end{cases}
$$

你可以用代入消元法或者加减消元法来求解，这两种方法和实数线性方程组的思路完全一致，只是计算时需要遵循复数的运算法则（核心记住 (i^2=-1)）。

方法一：代入消元法 #

1. 从第二个方程解出 (z_1)
   把第二个方程变形，将 (z_1) 单独放在一侧：
   $$(2+2i)z_1 = -(3+5i)z_2$$
   为了化简分式，给分子分母同乘分母的共轭复数 (2-2i)（实现分母实数化）：
   $$
   z_1 = -\frac{(3+5i)}{2+2i}z_2 = -\frac{(3+5i)(2-2i)}{(2+2i)(2-2i)}z_2
   $$
   计算分母：((2+2i)(2-2i)=2²⁺²2=8)
   计算分子：((3+5i)(2-2i)=6-6i+10i-10i^2=6+4i+10=16+4i)
   最终化简得：
   $$
   z_1 = -\frac{16+4i}{8}z_2 = -\left(2+\frac{1}{2}i\right)z_2
   $$

2. 代入第一个方程求解 (z_2)
   将上面得到的 (z_1) 代入第一个方程：
   $$
   (-1+i)\left(-\left(2+\frac{1}{2}i\right)z_2\right)+(2i-3)z_2=-2
   $$
   先计算第一项的系数：
   $$
   (-1+i)\left(-2-\frac{1}{2}i\right)=2+\frac{1}{2}i-2i-\frac{1}{2}i^2=2-\frac{3}{2}i+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}-\frac{3}{2}i
   $$
   合并同类项后：
   $$
   \left(\frac{5}{2}-\frac{3}{2}i-3+2i\right)z_2=-2
   $$
   化简系数：
   $$
   \left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\right)z_2=-2
   $$
   两边乘2后再给分子分母同乘 (-1-i) 化简：
   $$
   (-1+i)z_2=-4 \implies z_2=\frac{-4}{-1+i}=\frac{-4(-1-i)}{(-1+i)(-1-i)}=\frac{4+4i}{2}=2+2i
   $$

3. 回代求 (z_1)
   把 (z_2=2+2i) 代入 (z_1=-\frac{(3+5i)}{2+2i}z_2)，注意到 (z_2=2(1+i))，而 (2+2i=2(1+i)) 可以直接约分：
   $$
   z_1=-\frac{(3+5i)}{2(1+i)}\times2(1+i)=-(3+5i)
   $$

方法二：加减消元法 #

1. 构造相同系数消去 (z_1)
   观察 (z_1) 的系数：第一个方程是 (-1+i)，第二个方程是 (2+2i=2(1+i))。我们给第一个方程乘 (2+2i)，第二个方程乘 (-1+i)，让 (z_1) 的系数一致：

   • 第一个方程乘 (2+2i)：
     $$(2+2i)(-1+i)z_1+(2+2i)(2i-3)z_2=-2(2+2i)$$
   • 第二个方程乘 (-1+i)：
     $$(2+2i)(-1+i)z_1+(3+5i)(-1+i)z_2=0$$

2. 两式相减消去 (z_1)
   用第一个变形后的方程减去第二个变形后的方程：
   $$
   \left[(2+2i)(2i-3)-(3+5i)(-1+i)\right]z_2=-4-4i
   $$
   分别计算括号内的两项：

   • ((2+2i)(2i-3)=4i-6+4i^2-6i=-10-2i)
   • ((3+5i)(-1+i)=-3+3i-5i+5i^2=-8-2i)
     代入后化简系数：
     $$
     [(-10-2i)-(-8-2i)]z_2=-4-4i \implies -2z_2=-4-4i
     $$
     解得：
     $$
     z_2=2+2i
     $$

3. 回代求 (z_1)
   将 (z_2=2+2i) 代入原方程组的第二个方程：
   $$
   (2+2i)z_1+(3+5i)(2+2i)=0
   $$
   计算 ((3+5i)(2+2i)=6+6i+10i+10i^2=-4+16i)，代入后：
   $$
   (2+2i)z_1=4-16i
   $$
   分母实数化求解：
   $$
   z_1=\frac{4-16i}{2+2i}=\frac{(4-16i)(2-2i)}{8}=\frac{8-40i-32}{8}=-3-5i
   $$

小提示 #

复数运算中，分母实数化是化简分式的关键技巧，遇到形如 (\frac{a+bi}{c+di}) 的式子，直接给分子分母同乘 (c-di) 即可快速化简。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者teco2al