仅用y=mx判断二元函数f(x,y)在(0,0)处的连续性问题

嘿，我来帮你把这个问题理清楚～首先我们得明确两个关键点：一是原函数在(0,0)处无定义，所以直接谈“连续”是不成立的；二是我们可以通过判断极限是否存在，来确定能不能把它延拓成一个在(0,0)处连续的函数。

第一步：用路径$y=mx$分析极限 #

我们先按你提到的路径代入计算：

• 将$y=mx$代入函数$f(x,y)=\frac{x^4-y4}{x^2+y2}$，得到：

  f(x,mx) = \frac{x^4 - (mx)^4}{x^2 + (mx)^2} = \frac{x^4(1 - m^4)}{x^2(1 + m^2)} = x^2 \cdot \frac{1 - m^4}{1 + m^2}
  

• 当$x \to 0$时，$x^2$趋近于0，而$\frac{1 - m^4}{1 + m^2}$是一个仅与$m$有关的常数，因此$\lim_{x \to 0} f(x,mx) = 0$——无论$m$取何值，也就是无论从哪条直线路径趋近(0,0)，极限都是0。

第二步：确认极限是否全局存在 #

这里要注意：仅通过直线路径$y=mx$不能100%确定二元函数的极限存在，因为还有曲线路径（比如$y=x^2$）需要验证。不过对于这个函数，我们可以用极坐标法进一步确认：

• 令$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，当$(x,y)\to(0,0)$时，$r\to0$，代入函数得：

  f(r\cos\theta, r\sin\theta) = \frac{r^4\cos^4\theta - r^4\sin^4\theta}{r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta} = \frac{r^4(\cos^4\theta - \sin^4\theta)}{r^2} = r^2(\cos^4\theta - \sin^4\theta)
  

• 因为$|\cos^4\theta - \sin^4\theta| \leq |\cos^4\theta| + |\sin^4\theta| \leq 1$，所以当$r\to0$时，$r^2(\cos4\theta - \sin^4\theta) \to 0$，这说明所有路径趋近(0,0)时，极限都是0。

第三步：判断能否延拓为连续函数 #

根据连续的定义：函数在$(x_0,y_0)$处连续需要满足$\lim\limits_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x,y)=f(x_0,y_0)$。

• 原函数$f(x,y)$在$(0,0)$处无定义，所以原函数在该点不连续；
• 但我们可以补充定义$f(0,0)=0$，此时$\lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)=0=f(0,0)$，完全满足连续的条件——这样延拓后的函数就在$(0,0)$处连续了。

总结一下：仅通过$y=mx$路径能看出直线路径的极限都是0，但要确认全局极限存在还需要额外验证；这个函数可以通过补充定义$f(0,0)=0$延拓为在(0,0)处连续的函数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Dr Maths