求过点M(1,1,2)且平行于两垂直平面的直线向量方程

没问题，我一步步给你推导这个直线的向量方程：

步骤1：提取两个平面的法向量 #

对于平面的一般式 Ax + By + Cz = D，它的法向量就是系数组成的向量 (A, B, C)。所以：

• 平面 p₁: 3x - y + z = 17 的法向量为 n₁ = (3, -1, 1)
• 平面 p₂: x + 2y - z = 4 的法向量为 n₂ = (1, 2, -1)

步骤2：计算直线的方向向量 #

因为直线要同时平行于这两个平面，意味着直线的方向向量必须同时垂直于两个平面的法向量（直线平行于平面的等价条件是方向向量与平面法向量垂直）。而两个向量的叉乘结果，恰好是同时垂直于这两个向量的向量，所以我们计算 n₁ 和 n₂ 的叉乘：

用行列式展开计算叉乘（i、j、k分别是x、y、z轴的单位向量）：

|i  j  k|
|3 -1  1|
|1  2 -1|

展开后：
= i * [(-1)*(-1) - 1*2] - j * [3*(-1) - 1*1] + k * [3*2 - (-1)*1]
= i*(1-2) - j*(-3-1) + k*(6+1)
= -i + 4j + 7k

所以直线的方向向量可以取 s = (-1, 4, 7)（其实它的任意非零倍数，比如 (1, -4, -7)，也能作为方向向量，结果是等价的）

步骤3：写出直线的向量方程 #

已知直线过定点 M(1, 1, 2)，它的位置向量是 r₀ = (1, 1, 2)，结合刚才得到的方向向量 s，直线的向量方程可以表示为：

r = (1, 1, 2) + t*(-1, 4, 7)，其中 t ∈ ℝ 是任意实数参数

如果需要分量形式的话，拆开来就是：
x = 1 - t，y = 1 + 4t，z = 2 + 7t

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Becker