求证当整数a≤0、自然数b时带余除法的存在唯一性

嗨，我来帮你理清当(a \leq 0)时带余除法的存在性与唯一性证明——既然你已经掌握了(a>0)时的证法，咱们就从你熟悉的结论入手，把负数/零的情况转化过去就行～

已知当(c \geq 0)时（也就是你会的(a>0)的扩展情况），对任意(b \in \mathbb{N})，存在唯一的整数(q', r)使得(c = q' \cdot b + r)，其中(0 \leq r < b)。

现在看(a \leq 0)的情况：

• 若(a = 0)：直接取(q=0)，(r=0)，显然满足(0 = 0 \cdot b + 0)，且(0 \leq 0 < b)。
• 若(a < 0)：令(c = -a)，则(c > 0)。根据已知结论，存在整数(q', r)使得(c = q' \cdot b + r)，(0 \leq r < b)。
  • 当(r = 0)时：(-a = q' \cdot b)，两边乘-1得(a = (-q') \cdot b + 0)，此时取(q = -q')，(r = 0)，满足条件。
  • 当(0 < r < b)时：(-a = q' \cdot b + r)，变形为(a = -q' \cdot b - r = (-q' - 1) \cdot b + (b - r))。此时新的余数(r' = b - r)，因为(0 < r < b)，所以(0 < b - r < b)，完全符合(0 \leq r' < b)的要求；对应的商(q = -q' - 1)也是整数，所以这样的(q)和(r')就满足(a = q \cdot b + r')。

假设存在两组不同的整数对((q_1, r_1))和((q_2, r_2))，都满足：
(a = q_1 \cdot b + r_1 = q_2 \cdot b + r_2)，且(0 \leq r_1, r_2 < b)。

把等式变形一下：((q_1 - q_2) \cdot b = r_2 - r_1)。

左边是(b)的整数倍，右边的绝对值(|r_2 - r_1|)呢？因为(r_1)和(r_2)都在([0, b))区间里，它们的差的绝对值最大不会超过(b-1)（比如(r_1=0)，(r_2=b-1)时，差是(b-1)），肯定小于(b)。

而一个(b)的整数倍（(b \geq 1)）的绝对值要小于(b)，只有这个整数倍是0才行——也就是(q_1 - q_2 = 0)，同时(r_2 - r_1 = 0)。这就说明(q_1 = q_2)，(r_1 = r_2)，所以满足条件的(q)和(r)是唯一的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者John W. Smith