求证：逐点收敛于f的单调递增函数列{fₙ}的极限f也单调递增

嘿，我来帮你理顺这个证明的思路——你一开始的尝试里额外加了一致收敛的假设，但题目里其实只给了逐点收敛的条件，完全不用绕到一致收敛那边去，直接用逐点收敛的定义和极限的基本性质就能轻松搞定！

先明确已知条件和待证目标 #

• 已知：
  • 函数列${f_n}$是单调递增的：对任意自然数$n$，以及任意实数$x < y$，都有$f_n(x) \leq f_n(y)$
  • ${f_n}$逐点收敛于$f$：对任意固定的实数$x$，$\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)$
• 待证：$f$是单调递增函数，即对任意$x < y$，有$f(x) \leq f(y)$

正式证明过程 #

取任意两个满足$x < y$的实数。根据${f_n}$的单调性，对每一个$n$，都有：

$f_n(x) \leq f_n(y)$

现在对这个不等式的两边同时取$n \to \infty$的极限。这里用到极限的保序性：如果两个数列${a_n}$和${b_n}$满足对所有$n$都有$a_n \leq b_n$，且$\lim_{n \to \infty}a_n = a$、$\lim_{n \to \infty}b_n = b$，那么必然有$a \leq b$。

对应到我们的问题里：

• $a_n = f_n(x)$，它的极限是$f(x)$（由逐点收敛的定义）
• $b_n = f_n(y)$，它的极限是$f(y)$（同样由逐点收敛的定义）

所以直接可以推出$f(x) \leq f(y)$。因为$x < y$是任意选取的，这就说明$f$是单调递增函数。

对你之前尝试的小补充 #

你之前的思路里引入了一致收敛的条件，但题目并没有给出这个前提，其实是多余的哦。逐点收敛加上每个函数的单调性，配合极限保序性就足够完成证明了，这样的逻辑更直接简洁～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Inverse Problem