如何证明当|z|≤1/2时，|2z³-4z-3-i|≥√10 - 5/2？

已知 $|z| \leq \frac{1}{2}$，我们需要证明：
$$|2z^{3} - 4z - 3- i| \geq \sqrt{10} - \frac{5}{2}.$$

我的推导步骤如下：
\begin{align*}
|2z^{3} - 4z - 3- i| &= |2z(z^{2} - 2) - (3 + i)|\
&\geq \bigl| |2z(z^{2}-2)| - |(3+i)|\bigr|\
&= \bigl||2z(z^{2} -2)| - \sqrt{10}\bigr|\
&=\Bigl| 2z \bigl||z^{2}| - 2|\bigr| - \sqrt{10}\Bigr|\
&=\Bigl|\bigl|2| z ||z|^{2} - 2|\bigr| - \sqrt{10}\Bigr|
\end{align*}

我觉得当 $|z|=0$ 时能取到最小值，此时对应的计算过程（原内容未完成）如下：
\begin{align*}
& \left|\left|0 - ...\right.\right.
\end{align*}

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Boots