求0≤a<1时定积分$D = \int_0^{2\pi} \frac{\sin^2\theta}{(1-a\cos\theta)^3}\,d\theta$的表达式

我最近在计算这个限定条件下的定积分：
$$D = \int_0^{2\pi} \frac{\sin^{2\theta}{(1-a\cos\theta)}3},d\theta.$$

借助Wolfram Alpha，我得到了它的原函数表达式：
$$D= \left[ \frac{\sin \theta(\cos \theta - a)}{2(a^2-1)(a \cos\theta-1)^2} +\frac{\tanh^{-1}\left( \frac{(a+1)\tan(\theta/2)}{\sqrt{a^2-1}} \right)}{(a^2-1){3/2}}\right]_0^{2\pi} .$$

之后我把这个结果通分整理，还能进一步写成：
$$D= \left[ \frac{(a^2-1){1/2}\sin \theta(\cos \theta - a)+2 (a \cos\theta-1)^2\tanh{-1}\left( \frac{(a+1)\tan(\theta/2)}{\sqrt{a^2-1}} \right)}{2(a^2-1){3/2}(a \cos\theta-1)^2}\right]_0{2\pi}$$

这里提个小细节：因为$0 \leq a <1$，$\sqrt{a^{2-1}$是纯虚数，这时候可以利用$\tanh}{-1}(ix)=i\tan^{-1}(x)$把双曲函数转化为三角函数，这样代入上下限计算的时候会更直观——毕竟$\theta=0$和$\theta=2\pi$时，$\tan(\theta/2)=0$，第一项里的$\sin\theta$也为0，不过要注意原函数在积分区间内的连续性问题哦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者steveOw