如何证明两个n维流形的不交并仍是n维流形？

嘿，你的思路完全找对方向了！咱们顺着这个思路把证明补全，一步步验证流形定义里的三个核心条件就行：

1. 先明确不交并的拓扑结构 #

首先，正如你所说，$X \sqcup Y$的严格定义是$X \times {0} \cup Y \times {1}$，它的拓扑是不交并拓扑：一个集合在$X \sqcup Y$中是开集，当且仅当它与$X \times {0}$的交集是$X$中的开集，与$Y \times {1}$的交集是$Y$中的开集。这个拓扑保证了嵌入映射$i_X: X \to X \sqcup Y, x \mapsto (x,0)$和$i_Y: Y \to X \sqcup Y, y \mapsto (y,1)$都是开嵌入（既是嵌入又是开映射）。

2. 验证局部同胚于$\mathbb{R}^n$的开集（你的核心思路补全） #

对于$X \sqcup Y$中的任意一点：

• 如果是来自$X$的点$(x,0)$：因为$X$是n维流形，存在$x$的邻域$U_X \subset X$和同胚$f_X: U_X \to \tilde{U}_X$，其中$\tilde{U}_X$是$\mathbb{R}^n$中的开集。我们定义映射：
  $$f: U_X \times {0} \to \tilde{U}_X, \quad f((x',0)) = f_X(x')$$
  这个映射是同胚：一方面$f_X$是同胚，另一方面$U_X \times {0}$和$U_X$通过$i_X$限制在$U_X$上是同胚的，复合后自然还是同胚。
• 如果是来自$Y$的点$(y,1)$：完全同理，用$Y$上的坐标卡$f_Y: U_Y \to \tilde{U}_Y$，定义$f((y',1))=f_Y(y')$，这也是一个同胚。

这样，$X \sqcup Y$中的每个点都有邻域同胚于$\mathbb{R}^n$的开集，满足流形的局部坐标条件。

3. 验证豪斯多夫性 #

流形要求拓扑是豪斯多夫的，我们分三种情况看：

• 两个点都来自$X$：因为$X$是流形（豪斯多夫），存在$X$中不相交的开邻域$U_X, V_X$，对应到$X \sqcup Y$中就是$U_X \times {0}$和$V_X \times {0}$，这两个开集显然不相交；
• 两个点都来自$Y$：和上面完全一样，利用$Y$的豪斯多夫性即可；
• 一个点来自$X$，一个来自$Y$：直接取$X \times {0}$和$Y \times {1}$，这两个都是$X \sqcup Y$中的开集，且本身不交，完美满足豪斯多夫条件。

4. 验证第二可数性 #

流形要求拓扑有可数基：

• $X$和$Y$都是n维流形，所以各自有可数的拓扑基$\mathcal{B}_X$和$\mathcal{B}_Y$；
• 我们构造$X \sqcup Y$的拓扑基：${ B \times {0} \mid B \in \mathcal{B}_X } \cup { B \times {1} \mid B \in \mathcal{B}_Y }$；
• 这个集合是可数的，因为两个可数集的并仍然可数，而且它确实生成了不交并拓扑，满足第二可数性。

综上，$X \sqcup Y$满足n维流形的所有定义条件，所以它是n维流形。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Takoda