移位函数趋近±∞的性质与有界移位的等价性证明问询

设函数 $f:\mathbb R \to \mathbb R^m$ 满足指数衰减条件：对于常数向量 $l_{\pm}$ 和正数 $C$，有
$$|f(x)-l_{\pm}| \le Ce^{-|x|}$$
另设函数 $g:\mathbb R \supset I \to \mathbb R$，考虑 $f$ 的移位形式 $f(x-g(y))$。我们需要证明（若成立）：

$|f(x-g(y)) - l_{\pm}| \le C_0e^{-|x|}$ 当且仅当 $g$ 是有界函数（注：$C_0:=C_0(C)\gt 0$，$|\cdot|$ 为欧几里得范数）

我的尝试（必要性方向） #

我先完成了必要性（$\Leftarrow$）的证明：

• 若 $g$ 是有界函数，那么存在正数 $M$，使得对所有 $y \in I$，都有 $|g(y)| \le M$。接下来分两种情况讨论：
  1. 当 $x \to +\infty$ 时：此时 $x - g(y) \ge x - M$，因此 $e^{-|x - g(y)|} = e^{-(x - g(y))} \le e^{-(x - M)} = e^M e^{-x} = e^M e^{-|x|}$。结合 $f$ 的原始衰减条件，可得：
     $$|f(x-g(y)) - l_+| \le Ce^{-|x - g(y)|} \le C e^M e^{-|x|}$$
     取 $C_0 = C e^M$ 即可满足要求。
  2. 当 $x \to -\infty$ 时：此时 $x - g(y) \le x + M$，因此 $e^{-|x - g(y)|} = e^{(x - g(y))} \le e^{(x + M)} = e^M e^{x} = e^M e^{-|x|}$。同理可得：
     $$|f(x-g(y)) - l_-| \le Ce^{-|x - g(y)|} \le C e^M e^{-|x|}$$
     同样取 $C_0 = C e^M$ 就满足条件。

待解决的充分性方向 #

目前我卡在了充分性（$\Rightarrow$）的证明上：假设对于所有的 $x,y$，都有 $|f(x-g(y)) - l_{\pm}| \le C_0e^{-|x|}$，需要证明 $g$ 是有界函数。有没有可行的思路可以推进这个证明？

内容的提问来源于stack exchange，提问作者kaithkolesidou