求函数$f(x)=2\sqrt{x}$在x=25处的切线方程（两种斜率求法）

你已经找到切点$p_1=(25,10)$完全正确，因为代入$x=25$时，$f(25)=2\sqrt{25}=10$。接下来咱们一步步解决斜率的问题，再推导切线方程：

方法(i)：利用导数的极限定义求斜率 #

导数的极限定义是：
$$f'(a)=\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$
这里$a=25$，代入后得到：
$$f'(25)=\lim_{h \to 0} \frac{2\sqrt{25+h}-10}{h}$$

你提到的“伪装的1”其实是分子有理化的技巧，不过这里要注意：应该用分子的共轭式$\frac{2\sqrt{25+h}+10}{2\sqrt{25+h}+10}$（而不是你写的和分子相同的式子，这大概率是你困惑的根源！共轭式要把分子里的减号换成加号，这样才能用平方差公式消去根号）。咱们一步步计算：

$$
\begin{align*}
\lim_{h \to 0} \frac{2\sqrt{25+h}-10}{h} \times \frac{2\sqrt{25+h}+10}{2\sqrt{25+h}+10} &= \lim_{h \to 0} \frac{(2\sqrt{25+h})^2 - 10^2}{h(2\sqrt{25+h}+10)} \
&= \lim_{h \to 0} \frac{4(25+h) - 100}{h(2\sqrt{25+h}+10)} \
&= \lim_{h \to 0} \frac{100 + 4h - 100}{h(2\sqrt{25+h}+10)} \
&= \lim_{h \to 0} \frac{4h}{h(2\sqrt{25+h}+10)} \
\end{align*}
$$

当$h \neq 0$时，分子分母的$h$可以约掉，化简为：
$$
\lim_{h \to 0} \frac{4}{2\sqrt{25+h}+10}
$$

代入$h=0$计算得：
$$
\frac{4}{2\sqrt{25}+10} = \frac{4}{2\times5+10} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}
$$

所以用极限定义求得斜率为$\frac{1}{5}$。

方法(ii)：利用导数快捷公式求斜率 #

先把$2\sqrt{x}$转化为幂函数形式：
$$f(x)=2x^{\frac{1}{2}}$$

回忆幂函数的导数公式：若$f(x)=x^{n$，则$f'(x)=nx}{n-1}$。应用这个公式到$f(x)$上：
$$f'(x)=2 \times \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$$

代入$x=25$，得到：
$$f'(25)=\frac{1}{\sqrt{25}}=\frac{1}{5}$$

两种方法得到的斜率完全一致，验证了结果的正确性。

推导切线方程 #

切线方程的点斜式为$y - y_1 = m(x - x_1)$，其中$(x_1,y_1)=(25,10)$，斜率$m=\frac{1}{5}$，代入后：
$$y - 10 = \frac{1}{5}(x - 25)$$

整理成斜截式的话：
$$y = \frac{1}{5}x - 5 + 10 = \frac{1}{5}x + 5$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Emily Burton