基于贝叶斯公式：0 < P(B|A)/P(B) < 1是否恒成立？能否证明？

答案是不能——这个不等式并不是在所有情况下都成立，我们可以通过概率的基本定义和具体例子来验证这一点：

1. 当比值大于1的情况（正相关事件） #

当事件A和B正相关时，$P(A∩B) > P(A)P(B)$，此时$\frac{P(B|A)}{P(B)} > 1$。

例子：
假设样本空间是掷一颗6面骰子：

• 事件A：掷出偶数（$P(A) = \frac{1}{2}$）
• 事件B：掷出2或4（$P(B) = \frac{1}{3}$）

计算条件概率$P(B|A)$：A发生时，样本空间是{2,4,6}，其中B发生的情况是{2,4}，所以$P(B|A) = \frac{2}{3}$。

此时$\frac{P(B|A)}{P(B)} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}} = 2 > 1$，显然不满足小于1的条件。

2. 当比值等于1的情况（独立事件） #

根据独立事件的定义：若A和B独立，则$P(B|A) = P(B)$，此时$\frac{P(B|A)}{P(B)} = 1$。

例子：
抛两次公平硬币：

• 事件A：第一次抛出正面（$P(A) = \frac{1}{2}$）
• 事件B：第二次抛出正面（$P(B) = \frac{1}{2}$）

由于两次抛硬币结果独立，$P(B|A) = P(B) = \frac{1}{2}$，所以$\frac{P(B|A)}{P(B)} = 1$，不在(0,1)区间内。

3. 当比值等于0的情况（互斥事件） #

若A和B是互斥事件（$A∩B = \emptyset$），且$P(A) > 0$、$P(B) > 0$，则$P(B|A) = 0$，此时$\frac{P(B|A)}{P(B)} = 0$，不满足大于0的条件。

例子：
掷一颗6面骰子：

• 事件A：掷出奇数（$P(A) = \frac{1}{2}$）
• 事件B：掷出2或4（$P(B) = \frac{1}{3}$）

A和B没有交集，所以$P(B|A) = 0$，$\frac{P(B|A)}{P(B)} = 0$。

理论证明 #

根据条件概率的定义，当$P(A) > 0$时：
$$P(B|A) = \frac{P(A∩B)}{P(A)}$$

因此：
$$\frac{P(B|A)}{P(B)} = \frac{P(A∩B)}{P(A)P(B)}$$

我们可以根据$P(A∩B)$与$P(A)P(B)$的关系，得到不同的结果：

• 若$P(A∩B) > P(A)P(B)$（正相关）：比值>1；
• 若$P(A∩B) = P(A)P(B)$（独立）：比值=1；
• 若$0 < P(A∩B) < P(A)P(B)$（负相关且非互斥）：比值∈(0,1)；
• 若$P(A∩B) = 0$（互斥）：比值=0。

只有当A和B负相关且非互斥时，该比值才会落在(0,1)之间，其他情况均不满足$0 < \frac{P(B|A)}{P(B)} < 1$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Thomas Moore