求证：对拓扑空间X中任意开集U，$Int(\overline{U\cap M})=Int(\overline{U})\cap Int(\overline{M})$

我们要证明的命题是：对拓扑空间$X$中任意开集$U$，有
$$\text{Int}(\overline{U\cap M})=\text{Int}(\overline{U})\cap\text{Int}(\overline{M})$$

1) 证明 $\boldsymbol{\text{Int}(\overline{U\cap M}) \subseteq \text{Int}(\overline{U})\cap\text{Int}(\overline{M})}$ #

这里我们可以借助两个基础的拓扑集合运算性质来推导：

• 对任意集合$A,B\subseteq X$，交集的闭包包含于闭包的交集：$\overline{A\cap B}\subseteq\overline{A}\cap\overline{B}$
• 对任意集合$A,B\subseteq X$，内部运算对交集满足分配律：$\text{Int}(A\cap B)=\text{Int}(A)\cap\text{Int}(B)$

首先，由第一个性质直接可得：
$$\overline{U\cap M}\subseteq\overline{U}\cap\overline{M}$$
而内部运算具有保包含性——如果集合$C\subseteq D$，那么$\text{Int}(C)\subseteq\text{Int}(D)$，因此可以推出：
$$\text{Int}(\overline{U\cap M}) \subseteq \text{Int}(\overline{U}\cap\overline{M})$$
再结合第二个分配律性质，将右边的内部运算拆到交集的两个元素上：
$$\text{Int}(\overline{U}\cap\overline{M})=\text{Int}(\overline{U})\cap\text{Int}(\overline{M})$$
把这两步结合起来，就完成了左到右的包含关系证明。

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