20名猎人概率问题：未命中时属第一组的概率及解法合理性确认

当然可以通过定义事件、结合全概率公式与贝叶斯定理来求解这个问题，这是处理这类"已知结果反推原因"的逆概率问题的标准思路。下面咱们一步步来推导：

1. 定义事件 #

首先明确我们需要的事件：

• $A_1$：选中的猎人来自第一组（5名，命中概率$\frac{4}{5}$）
• $A_2$：选中的猎人来自第二组（7名，命中概率$\frac{3}{5}$）
• $A_3$：选中的猎人来自第三组（8名，命中概率$\frac{1}{2}$）
• $B$：猎人命中目标，对应的$\overline{B}$就是猎人未命中目标（也就是题目给出的射击结果）

2. 计算先验概率 #

先算出选中每组猎人的概率（先验概率）：

• $P(A_1) = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$
• $P(A_2) = \frac{7}{20}$
• $P(A_3) = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$

同时，每组猎人未命中目标的条件概率为：

• $P(\overline{B}|A_1) = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$
• $P(\overline{B}|A_2) = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$
• $P(\overline{B}|A_3) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

3. 用全概率公式计算$P(B)$（按你提出的思路） #

先计算命中目标的总概率$P(B)$：
$$
\begin{align*}
P(B) &= P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + P(A_3)P(B|A_3) \
&= \frac{1}{4} \times \frac{4}{5} + \frac{7}{20} \times \frac{3}{5} + \frac{2}{5} \times \frac{1}{2} \
&= \frac{1}{5} + \frac{21}{100} + \frac{1}{5} \
&= \frac{61}{100}
\end{align*}
$$
那么未命中目标的概率就是：
$$P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - \frac{61}{100} = \frac{39}{100}$$

4. 用贝叶斯定理求解目标概率 #

我们需要的是已知未命中时，猎人来自第一组的概率，即$P(A_1|\overline{B})$，代入贝叶斯公式：
$$
P(A_1|\overline{B}) = \frac{P(A_1) \times P(\overline{B}|A_1)}{P(\overline{B})}
$$
把数值代入计算：
$$
P(A_1|\overline{B}) = \frac{\frac{1}{4} \times \frac{1}{5}}{\frac{39}{100}} = \frac{\frac{1}{20}}{\frac{39}{100}} = \frac{5}{39}
$$

所以最终答案是$\boldsymbol{\frac{5}{39}}$，完全符合你提出的解题思路。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Lola