求将半圆盘双射至单位圆盘的解析函数，z²为何不符合？

嘿，你观察得太精准了！f(z)=z²确实没法覆盖单位圆盘里的正实线段[0,1)——因为上半单位圆盘Ω里的点辐角都在(0,π)之间，平方后辐角落在(0,2π)，但正实轴上的点需要辐角为0的原像，而这类原像只能在实轴非负部分，可这部分并不在Ω里（Ω要求Im z>0）。

不过完全存在满足要求的解析函数，我们可以通过复合共形映射的方式一步步构造，每一步都是单满的解析映射，复合后自然也满足单射且满射的要求：

步骤1：把半圆盘Ω映射到第一象限 #

用分式线性变换φ(z) = \frac{1+z}{1-z}，这个映射有几个关键性质：

• 它把单位圆映射成虚轴，实轴映射成实轴；
• 对于Ω内的点（|z|<1且Im z>0），Re φ(z) = \frac{1-|z|²}{|1-z|²} > 0，Im φ(z) = \frac{2Im z}{|1-z|²} > 0，所以φ(z)会把Ω单满映射到第一象限ℚ₁ = \{w ∈ ℂ | Re w>0, Im w>0\}。

步骤2：把第一象限映射到上半平面 #

用平方映射ψ(w) = w²，第一象限内的点辐角在(0, π/2)，平方后辐角落在(0, π)，正好对应上半平面ℍ = \{w ∈ ℂ | Im w>0\}，而且这是一个单满的解析映射。

步骤3：把上半平面映射到单位圆盘 #

用经典的Cayley变换θ(w) = \frac{w - i}{w + i}，这个映射是上半平面到单位圆盘的标准单满解析映射，它把上半平面的点一一对应地映射到单位圆盘内。

复合得到最终映射 #

把这三个映射复合起来，就得到了我们需要的函数：

f(z) = θ(ψ(φ(z))) = \frac{\left( \frac{1+z}{1-z} \right)^2 - i}{\left( \frac{1+z}{1-z} \right)^2 + i}

如果需要化简，可以展开分子分母：

f(z) = \frac{(1+z)^2 - i(1-z)^2}{(1+z)^2 + i(1-z)^2}

验证映射的满射性 #

比如你之前提到的[0,1)区间，拿其中一点1/2举例：

1. 先解θ(w) = 1/2，得到w = 3i；
2. 再解ψ(w') = 3i，得到w' = \sqrt{3}e^{iπ/4}（取第一象限的解）；
3. 最后解φ(z) = w'，得到z = \frac{w' - 1}{w' + 1}，这个z满足|z|<1且Im z>0，也就是在Ω内。
   这说明1/2确实在f(z)的像里，整个单位圆盘都能被覆盖到。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Connor