与非零因子相伴的素理想收缩及环扩张正规性证明问题

要证明$B$是正规整环，我们可以用Serre的经典判别法：Noetherian环是正规环当且仅当它同时满足以下两个条件：

• (R₁) 所有高度1的素理想对应的局部环都是正则局部环；
• (S₂) 对任意素理想$\mathfrak{q} \subset B$，有$\text{depth}(B_{\mathfrak{q}}) \geq \min(2, \text{ht}(\mathfrak{q}))$。

结合题目给出的条件，我们分别验证这两个条件：

1. 验证条件(R₁) #

取$B$中任意高度1的素理想$\mathfrak{q}$，令$\mathfrak{p} = \mathfrak{q} \cap A$。

• 由于$A \subseteq B$是有限扩张，根据上升定理，$\text{ht}(\mathfrak{p}) \leq \text{ht}(\mathfrak{q}) = 1$。又因为$\mathfrak{p}B_{\mathfrak{q}} = \mathfrak{q}B_{\mathfrak{q}}$（题目条件），而$\mathfrak{q}B_{\mathfrak{q}}$是$B_{\mathfrak{q}}$的非零极大理想，所以$\mathfrak{p} \neq 0$，因此$\text{ht}(\mathfrak{p}) = 1$。
• $A$是正规Noetherian整环，所以$A_{\mathfrak{p}}$是离散赋值环(DVR)（正规Noetherian整环中高度1的素理想局部化后必为DVR）。
• 局部化后的扩张$A_{\mathfrak{p}} \subseteq B_{\mathfrak{q}}$是有限扩张（有限扩张在局部化下保持有限性），且$\mathfrak{q}B_{\mathfrak{q}} = \mathfrak{p}B_{\mathfrak{q}} = \mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}B_{\mathfrak{q}}$。由于$\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$是DVR$A_{\mathfrak{p}}$的主极大理想，$\mathfrak{q}B_{\mathfrak{q}}$作为它的扩张也是$B_{\mathfrak{q}}$的主极大理想。
• 局部Noetherian整环$B_{\mathfrak{q}}$的极大理想是主理想，说明它本身就是DVR，而DVR是正则局部环，因此(R₁)条件成立。

2. 验证条件(S₂) #

对$B$中任意素理想$\mathfrak{q}$，令$\mathfrak{p} = \mathfrak{q} \cap A$，分两种情况讨论：

情况1：$\text{ht}(\mathfrak{q}) = 1$ #

此时$\min(2, \text{ht}(\mathfrak{q})) = 1$，而我们已经知道$B_{\mathfrak{q}}$是DVR，其depth为1，显然满足$\text{depth}(B_{\mathfrak{q}}) \geq 1$。

情况2：$\text{ht}(\mathfrak{q}) \geq 2$ #

此时需要证明$\text{depth}(B_{\mathfrak{q}}) \geq 2$：

• 首先，若$\text{ht}(\mathfrak{p}) = 1$，则$A_{\mathfrak{p}}$是DVR（维数1），而$B_{\mathfrak{q}}$是$A_{\mathfrak{p}}$的有限扩张，其Krull维数应等于$A_{\mathfrak{p}}$的维数1，但$\text{ht}(\mathfrak{q}) \geq 2$意味着$\dim B_{\mathfrak{q}} \geq 2$，矛盾。因此$\text{ht}(\mathfrak{p}) \geq 2$。
• $A$是正规Noetherian整环，满足(S₂)条件，因此$\text{depth}(A_{\mathfrak{p}}) \geq \min(2, \text{ht}(\mathfrak{p})) = 2$。
• 考虑局部同态$A_{\mathfrak{p}} \to B_{\mathfrak{q}}$：这是有限局部同态，且$\mathfrak{q}B_{\mathfrak{q}} = \mathfrak{p}B_{\mathfrak{q}}$（即$B_{\mathfrak{q}}$的极大理想是$A_{\mathfrak{p}}$极大理想的扩张）。对于这类同态，有结论：$\text{depth}(B_{\mathfrak{q}}) \geq \text{depth}(A_{\mathfrak{p}})$——$A_{\mathfrak{p}}$中的正则序列可以自然映射为$B_{\mathfrak{q}}$中的正则序列，因为$B$是整环，非零因子在有限扩张下仍保持非零因子性质。
• 因此$\text{depth}(B_{\mathfrak{q}}) \geq 2 = \min(2, \text{ht}(\mathfrak{q}))$，满足(S₂)条件。

综上，$B$同时满足(R₁)和(S₂)，根据Serre判别法，$B$是正规整环。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Oromis