求证函数像集等式：f(S∪T)=f(S)∪f(T)

嘿，这个集合论里的经典函数像等式证明，我们一步步理清楚，确保每一步逻辑严谨~

要证明两个集合相等，核心是双向证明包含关系：先证左边集合是右边的子集，再证右边集合是左边的子集。

第一步：证明 $f(S \cup T) \subseteq f(S) \cup f(T)$ #

任取元素 $b \in f(S \cup T)$，根据函数像的定义，必然存在某个元素 $a \in S \cup T$，使得 $f(a) = b$。

根据并集的定义，$a$ 要么属于 $S$，要么属于 $T$，分两种情况讨论：

• 情况1：若 $a \in S$，根据函数像的定义，$f(a) \in f(S)$，而 $f(a)=b$，因此 $b \in f(S)$；
• 情况2：若 $a \in T$，同理可得 $f(a) \in f(T)$，即 $b \in f(T)$。

不管哪种情况，$b$ 都属于 $f(S) \cup f(T)$，因此 $f(S \cup T) \subseteq f(S) \cup f(T)$ 成立。

第二步：证明 $f(S) \cup f(T) \subseteq f(S \cup T)$ #

任取元素 $b \in f(S) \cup f(T)$，根据并集的定义，$b$ 要么属于 $f(S)$，要么属于 $f(T)$：

• 情况1：若 $b \in f(S)$，则存在元素 $a \in S$ 使得 $f(a)=b$。由于 $S$ 是 $S \cup T$ 的子集（$S \subseteq S \cup T$），所以 $a \in S \cup T$，因此 $b = f(a) \in f(S \cup T)$；
• 情况2：若 $b \in f(T)$，同理，存在元素 $a \in T$ 使得 $f(a)=b$，而 $T \subseteq S \cup T$，所以 $a \in S \cup T$，因此 $b = f(a) \in f(S \cup T)$。

两种情况都能推出 $b \in f(S \cup T)$，因此 $f(S) \cup f(T) \subseteq f(S \cup T)$ 成立。

结论 #

既然双向的包含关系都成立，根据集合相等的定义，我们可以得出：
$$f(S \cup T) = f(S) \cup f(T)$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Cristian