基于ε-δ定义求极限：确定limₓ→3 x²的极限值
咱们直接用ε-δ定义来推导这个极限值，先把定义明确下来，方便后续一步步拆解：
若对于任意$\varepsilon > 0$，存在$\delta > 0$，使得当$0 < |x - a| < \delta$时，$|f(x) - L| < \varepsilon$，则$\lim_{x \to a} f(x) = L$
这里$a=3$，$f(x)=x^2$，我们的目标是找到符合条件的$L$，同时验证对应的$\delta$存在。
首先对$|f(x)-L|$做变形：
$|x^2 - L| = |(x - 3)(x + 3)| = |x - 3| \cdot |x + 3|$
因为$x$趋近于3，我们可以先给$x$的范围加个小限制：让$|x - 3| < 1$，这样就能把$|x + 3|$的范围框住：
$|x - 3| < 1 \implies 2 < x < 4$，所以$x + 3$的范围是$5 < x + 3 < 7$，也就是$|x + 3| < 7$。
现在我们要让$|x^2 - L| < \varepsilon$，结合上面的变形，就是$|x - 3| \cdot |x + 3| < \varepsilon$。这里我们尝试让$L=9$（这不是预设结果，而是从$x$趋近于3时$x2$的直观趋势出发的合理尝试，后续会验证合理性），式子就变成$|x2 - 9| = |x - 3| \cdot |x + 3| < \varepsilon$。
结合刚才的限制$|x + 3| < 7$，只要让$|x - 3| < \frac{\varepsilon}{7}$，就能满足$|x - 3| \cdot 7 < \varepsilon$。不过要注意，我们之前有个前提是$|x - 3| < 1$，所以最终的$\delta$要取这两个值里更小的那个，也就是$\delta = \min(1, \frac{\varepsilon}{7})$。
接下来验证一下：
对于任意给定的$\varepsilon > 0$，取$\delta = \min(1, \frac{\varepsilon}{7})$。当$0 < |x - 3| < \delta$时：
- 因为$\delta \leq 1$，所以$|x - 3| < 1$，从而$|x + 3| < 7$；
- 同时$\delta \leq \frac{\varepsilon}{7}$，所以$|x - 3| < \frac{\varepsilon}{7}$；
把这两个结合起来，$|x^2 - 9| = |x - 3| \cdot |x + 3| < \frac{\varepsilon}{7} \cdot 7 = \varepsilon$，完全符合ε-δ定义的要求。
这就说明，当$L=9$时，定义的条件全部满足，所以$\lim_{x \to 3} x^2 = 9$。
内容的提问来源于stack exchange，提问作者frog1944
